Номер 466, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 466, страница 231.

Условие.

Решите неравенства (466—467).

466. а) $(\frac{1}{3})^x \ge 27;$

б) $(\sqrt{6})^x \le \frac{1}{36};$

в) $0,2^x \le \frac{1}{25};$

г) $1,5^x < 2,25.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) $(\frac{1}{3})^x \geq 27$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Левая часть: $(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Правая часть: $27 = 3^3$.

Неравенство принимает вид:

$3^{-x} \geq 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x \geq 3$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \leq -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

б) $(\sqrt{6})^x \leq \frac{1}{36}$

Приведем обе части неравенства к основанию 6. Левая часть: $(\sqrt{6})^x = (6^{\frac{1}{2}})^x = 6^{\frac{x}{2}}$. Правая часть: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.

Неравенство принимает вид:

$6^{\frac{x}{2}} \leq 6^{-2}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{x}{2} \leq -2$

Умножим обе части на 2:

$x \leq -4$

Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

в) $0,2^x \leq \frac{1}{25}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Преобразуем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Правая часть: $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{5})^x \leq (\frac{1}{5})^2$

Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq 2$

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

г) $1,5^x < 2,25$

Приведем правую часть неравенства к основанию 1,5. Так как $2,25 = 1,5^2$, неравенство можно записать как:

$1,5^x < 1,5^2$

Так как основание степени $1,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.