Номер 460, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 460, страница 231.

Условие.

460.-

a) $4^x = 64$;

б) $(\frac{1}{3})^x = 27$;

в) $3^x = 81$;

г) $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано показательное уравнение $4^x = 64$.

Для решения этого уравнения необходимо представить обе части в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае удобным основанием является 4.

Представим правую часть уравнения, число 64, как степень числа 4:

$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$4^x = 4^3$.

Поскольку основания степеней равны ($a^f(x) = a^g(x) \Rightarrow f(x)=g(x)$), мы можем приравнять их показатели:

$x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

б)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 27$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы преобразовать левую часть:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.

Теперь представим правую часть, число 27, как степень числа 3:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

Уравнение принимает вид:

$3^{-x} = 3^3$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:

$-x = 3$.

Отсюда находим x, умножив обе части на -1:

$x = -3$.

Ответ: $x = -3$.

в)

Дано показательное уравнение $3^x = 81$.

Представим правую часть уравнения, число 81, в виде степени с основанием 3:

$81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$3^x = 3^4$.

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64}$.

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Удобное основание здесь — $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим правую часть уравнения. Знаменатель 64 можно представить как степень числа 2:

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Тогда дробь $\frac{1}{64}$ можно записать как $\frac{1}{2^6}$.

Используя свойство степеней $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$\frac{1}{64} = \frac{1^6}{2^6} = (\frac{1}{2})^6$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6$.

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 6$.

Ответ: $x = 6$.