Номер 462, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 462, страница 231.

Условие.

462. a) $3^{6 - x} = 3^{3x - 2};$

Б) $\sqrt{3^x} = 9;$

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2 + x - 0,5} = \frac{\sqrt{7}}{7};$

Г) $2^{x^2 + 2x - 0,5} = 4\sqrt{2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) $3^{6-x} = 3^{3x-2}$

Данное уравнение является показательным. Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны (равны 3), мы можем приравнять их показатели:

$6 - x = 3x - 2$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения – в другую:

$6 + 2 = 3x + x$

$8 = 4x$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2+x-0.5} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 7.

Преобразуем левую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$(\frac{1}{7})^{2x^2+x-0.5} = (7^{-1})^{2x^2+x-0.5} = 7^{-1 \cdot (2x^2+x-0.5)} = 7^{-2x^2-x+0.5}$

Преобразуем правую часть: $\sqrt{7} = 7^{0.5}$.

$\frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{7^{0.5}}{7^1} = 7^{0.5-1} = 7^{-0.5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$7^{-2x^2-x+0.5} = 7^{-0.5}$

Приравниваем показатели степеней:

$-2x^2-x+0.5 = -0.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-2x^2-x+0.5+0.5 = 0$

$-2x^2-x+1 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2x^2+x-1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=2, b=1, c=-1$

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $x_1=0.5; x_2=-1$

в) $\sqrt{3^x} = 9$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Преобразуем левую часть, используя свойство корня: $\sqrt{a} = a^{1/2}$.

$\sqrt{3^x} = (3^x)^{1/2} = 3^{\frac{x}{2}}$

Преобразуем правую часть: $9 = 3^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{2} = 2$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

г) $2^{x^2+2x-0.5} = 4\sqrt{2}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Левая часть уже имеет основание 2.

Преобразуем правую часть: $4=2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{0.5}$.

$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{0.5} = 2^{2+0.5} = 2^{2.5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2+2x-0.5} = 2^{2.5}$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2+2x-0.5 = 2.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+2x-0.5-2.5 = 0$

$x^2+2x-3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=2, c=-3$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1=1; x_2=-3$