Номер 458, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 458, страница 229.

Условие.

458. а) $3^{1-x} = 2x - 1;$

б) $4^x + 1 = 6 - x;$

В) $2^x - 2 = 1 - x;$

Г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3^{1-x} = 2x - 1$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 3^{1-x}$ и $y_2(x) = 2x - 1$.

Функция $y_1(x) = 3^{1-x} = (\frac{1}{3})^{x-1}$ является показательной функцией с основанием меньше 1, следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения (все действительные числа).

Функция $y_2(x) = 2x - 1$ является линейной функцией с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она монотонно возрастает на всей своей области определения.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $3^{1-1} = 3^0 = 1$.

Правая часть: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

б) $4^x + 1 = 6 - x$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее анализировать функции: $4^x = 5 - x$.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 5 - x$.

Функция $y_1(x) = 4^x$ — показательная с основанием больше 1, следовательно, она монотонно возрастает на всей области определения.

Функция $y_2(x) = 5 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она монотонно убывает на всей области определения.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=1$:

Левая часть исходного уравнения: $4^1 + 1 = 5$.

Правая часть исходного уравнения: $6 - 1 = 5$.

Значения левой и правой частей совпали, значит, $x=1$ — корень уравнения. Этот корень является единственным.

Ответ: $x=1$.

в) $2^x - 2 = 1 - x$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать функции: $2^x = 3 - x$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = 3 - x$.

Функция $y_1(x) = 2^x$ — показательная, монотонно возрастающая.

Функция $y_2(x) = 3 - x$ — линейная, монотонно убывающая.

Из-за различного характера монотонности функции могут пересечься не более одного раза. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Найдем его подбором.

Проверим $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Так как $2=2$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $x=1$.

г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1(x) = 3^{-x}$ и $y_2(x) = -\frac{3}{x}$.

Область определения уравнения: $x \ne 0$.

Проанализируем знаки функций. Функция $y_1(x) = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ является показательной, и ее значения всегда положительны при любом $x$.

Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы правая часть также была положительной: $y_2(x) = -\frac{3}{x} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x < 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен быть отрицательным.

Рассмотрим поведение функций на интервале $(-\infty, 0)$.

Функция $y_1(x) = 3^{-x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Функция $y_2(x) = -\frac{3}{x}$ на интервале $(-\infty, 0)$ является монотонно возрастающей (ее производная $y_2'(x) = \frac{3}{x^2} > 0$).

Так как на интервале $(-\infty, 0)$ одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором из отрицательных чисел.

Проверим $x=-1$:

Левая часть: $3^{-(-1)} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $-\frac{3}{-1} = 3$.

Левая и правая части равны, значит $x=-1$ — корень. Так как на промежутке $(-\infty, 0)$ он единственный, а на $(0, \infty)$ корней нет, это единственное решение уравнения.

Ответ: $x=-1$.