Номер 458, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 458, страница 229.
№458 (с. 229)
Условие. №458 (с. 229)
скриншот условия

458. а) $3^{1-x} = 2x - 1;$
б) $4^x + 1 = 6 - x;$
В) $2^x - 2 = 1 - x;$
Г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}.$
Решение 1. №458 (с. 229)

Решение 3. №458 (с. 229)

Решение 4. №458 (с. 229)

Решение 5. №458 (с. 229)
а) $3^{1-x} = 2x - 1$
Для решения этого уравнения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 3^{1-x}$ и $y_2(x) = 2x - 1$.
Функция $y_1(x) = 3^{1-x} = (\frac{1}{3})^{x-1}$ является показательной функцией с основанием меньше 1, следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения (все действительные числа).
Функция $y_2(x) = 2x - 1$ является линейной функцией с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она монотонно возрастает на всей своей области определения.
Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.
Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $3^{1-1} = 3^0 = 1$.
Правая часть: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, это и есть решение.
Ответ: $x=1$.
б) $4^x + 1 = 6 - x$
Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее анализировать функции: $4^x = 5 - x$.
Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 5 - x$.
Функция $y_1(x) = 4^x$ — показательная с основанием больше 1, следовательно, она монотонно возрастает на всей области определения.
Функция $y_2(x) = 5 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она монотонно убывает на всей области определения.
Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.
Проверим значение $x=1$:
Левая часть исходного уравнения: $4^1 + 1 = 5$.
Правая часть исходного уравнения: $6 - 1 = 5$.
Значения левой и правой частей совпали, значит, $x=1$ — корень уравнения. Этот корень является единственным.
Ответ: $x=1$.
в) $2^x - 2 = 1 - x$
Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать функции: $2^x = 3 - x$.
Рассмотрим функции $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = 3 - x$.
Функция $y_1(x) = 2^x$ — показательная, монотонно возрастающая.
Функция $y_2(x) = 3 - x$ — линейная, монотонно убывающая.
Из-за различного характера монотонности функции могут пересечься не более одного раза. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Найдем его подбором.
Проверим $x=1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1 = 2$.
Так как $2=2$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $x=1$.
г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}$
Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1(x) = 3^{-x}$ и $y_2(x) = -\frac{3}{x}$.
Область определения уравнения: $x \ne 0$.
Проанализируем знаки функций. Функция $y_1(x) = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ является показательной, и ее значения всегда положительны при любом $x$.
Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы правая часть также была положительной: $y_2(x) = -\frac{3}{x} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x < 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен быть отрицательным.
Рассмотрим поведение функций на интервале $(-\infty, 0)$.
Функция $y_1(x) = 3^{-x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения.
Функция $y_2(x) = -\frac{3}{x}$ на интервале $(-\infty, 0)$ является монотонно возрастающей (ее производная $y_2'(x) = \frac{3}{x^2} > 0$).
Так как на интервале $(-\infty, 0)$ одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором из отрицательных чисел.
Проверим $x=-1$:
Левая часть: $3^{-(-1)} = 3^1 = 3$.
Правая часть: $-\frac{3}{-1} = 3$.
Левая и правая части равны, значит $x=-1$ — корень. Так как на промежутке $(-\infty, 0)$ он единственный, а на $(0, \infty)$ корней нет, это единственное решение уравнения.
Ответ: $x=-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 458 расположенного на странице 229 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №458 (с. 229), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.