Номер 459, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 459, страница 229.

Условие.

459. Верно ли, что показательная функция $f(x) = a^x$:

а) имеет экстремумы;

б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;

в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;

г) является четной (нечетной)?

Решение 1.

Решение 5.

Проанализируем свойства показательной функции $f(x) = a^x$, где по определению $a > 0$ и $a \neq 1$.

а) имеет экстремумы;

Экстремумы (точки максимума или минимума) функции находятся в точках, где ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции $f(x) = a^x$:

$f'(x) = (a^x)' = a^x \ln a$.

Поскольку по определению показательной функции $a > 0$, то и $a^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Также, так как $a \neq 1$, то $\ln a \neq 0$. Следовательно, произведение $a^x \ln a$ никогда не равно нулю. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

Кроме того, показательная функция является строго монотонной на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$. Она строго возрастает, если $a > 1$, и строго убывает, если $0 < a < 1$. Строго монотонная функция на открытом интервале не может иметь точек локального экстремума.

Ответ: Нет.

б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;

Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что множество значений функции не ограничено сверху.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a > 1$, то функция возрастает. При увеличении $x$ значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$.
2. Если $0 < a < 1$, то функция убывает. При уменьшении $x$ (т.е. $x \to -\infty$) значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$.

В обоих случаях функция не достигает своего наибольшего значения ни в какой конечной точке $x_0$.

Ответ: Нет.

в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;

Это утверждение означает, что существует такое $x$, для которого выполняется равенство $a^x = 0$.

Однако, по свойству степени с положительным основанием, для любого действительного показателя $x$ и основания $a > 0$, результат $a^x$ всегда будет строго положительным числом. Область значений функции $f(x) = a^x$ есть интервал $(0, +\infty)$.

Таким образом, уравнение $a^x = 0$ не имеет решений в действительных числах. График показательной функции асимптотически приближается к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает и не касается.

Ответ: Нет.

г) является четной (нечетной)?

Проверим выполнение свойств четности и нечетности для функции $f(x) = a^x$. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = a^{-x} = \frac{1}{a^x}$.

Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = a^x$ (или $a^{2x}=1$) выполняется не для всех $x$, а только для $x=0$. Следовательно, функция не является четной.

Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Сравним $f(-x)$ и $-f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = -a^x$ (или $1 = -(a^x)^2$) не может выполняться ни при каких $x$, так как левая часть положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, функция не является нечетной.

Поскольку функция не является ни четной, ни нечетной, она является функцией общего вида.

Ответ: Нет.