Номер 459, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 459, страница 229.
№459 (с. 229)
Условие. №459 (с. 229)
скриншот условия

459. Верно ли, что показательная функция $f(x) = a^x$:
а) имеет экстремумы;
б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;
в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;
г) является четной (нечетной)?
Решение 1. №459 (с. 229)

Решение 5. №459 (с. 229)
Проанализируем свойства показательной функции $f(x) = a^x$, где по определению $a > 0$ и $a \neq 1$.
а) имеет экстремумы;
Экстремумы (точки максимума или минимума) функции находятся в точках, где ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции $f(x) = a^x$:
$f'(x) = (a^x)' = a^x \ln a$.
Поскольку по определению показательной функции $a > 0$, то и $a^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Также, так как $a \neq 1$, то $\ln a \neq 0$. Следовательно, произведение $a^x \ln a$ никогда не равно нулю. Это означает, что у функции нет стационарных точек.
Кроме того, показательная функция является строго монотонной на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$. Она строго возрастает, если $a > 1$, и строго убывает, если $0 < a < 1$. Строго монотонная функция на открытом интервале не может иметь точек локального экстремума.
Ответ: Нет.
б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;
Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что множество значений функции не ограничено сверху.
Рассмотрим два случая:
- Если $a > 1$, то функция возрастает. При увеличении $x$ значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$.
- Если $0 < a < 1$, то функция убывает. При уменьшении $x$ (т.е. $x \to -\infty$) значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$.
В обоих случаях функция не достигает своего наибольшего значения ни в какой конечной точке $x_0$.
Ответ: Нет.
в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;
Это утверждение означает, что существует такое $x$, для которого выполняется равенство $a^x = 0$.
Однако, по свойству степени с положительным основанием, для любого действительного показателя $x$ и основания $a > 0$, результат $a^x$ всегда будет строго положительным числом. Область значений функции $f(x) = a^x$ есть интервал $(0, +\infty)$.
Таким образом, уравнение $a^x = 0$ не имеет решений в действительных числах. График показательной функции асимптотически приближается к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает и не касается.
Ответ: Нет.
г) является четной (нечетной)?
Проверим выполнение свойств четности и нечетности для функции $f(x) = a^x$. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = a^{-x} = \frac{1}{a^x}$.
Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = a^x$ (или $a^{2x}=1$) выполняется не для всех $x$, а только для $x=0$. Следовательно, функция не является четной.
Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Сравним $f(-x)$ и $-f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = -a^x$ (или $1 = -(a^x)^2$) не может выполняться ни при каких $x$, так как левая часть положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, функция не является нечетной.
Поскольку функция не является ни четной, ни нечетной, она является функцией общего вида.
Ответ: Нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 459 расположенного на странице 229 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №459 (с. 229), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.