Номер 461, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 461, страница 231.

Условие.

461. а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$;

б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$;

в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$;

г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, чтобы объединить основания, так как показатели степеней одинаковы:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$

Упростим выражение в скобках, сократив дроби:

$(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8})^x = (\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4})^x = (\frac{3}{4})^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{3}{4})^x = \frac{27}{64}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$. Заметим, что $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$.

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Подставим это в уравнение:

$(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$(8^{x-3})^{\frac{1}{2}} = (4^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$8^{\frac{x-3}{2}} = 4^{\frac{2-x}{3}}$

Приведем основания степеней к общему основанию 2, так как $8=2^3$ и $4=2^2$:

$(2^3)^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{2-x}{3}}$

$2^{\frac{3(x-3)}{2}} = 2^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{3(x-3)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot 3(x-3) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-3) = 4(2-x)$

$9x - 27 = 8 - 4x$

$9x + 4x = 8 + 27$

$13x = 35$

$x = \frac{35}{13}$

Ответ: $\frac{35}{13}$

в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$

Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 36$

Применим свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ под корнем:

$\sqrt{(2 \cdot 3)^x} = 36$

$\sqrt{6^x} = 36$

Представим корень в виде степени с дробным показателем:

$6^{\frac{x}{2}} = 36$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 6:

$36 = 6^2$

Получаем уравнение:

$6^{\frac{x}{2}} = 6^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x}{2} = 2$

$x = 4$

Ответ: 4

г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$

Чтобы решить уравнение, приведем степени к одному основанию. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя ее к основанию $\frac{3}{7}$:

$(\frac{7}{3})^{5x-3} = (\frac{3}{7})^{-(5x-3)} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3x + 1 = -5x + 3$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x + 5x = 3 - 1$

$8x = 2$

$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$