Номер 461, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 461, страница 231.
№461 (с. 231)
Условие. №461 (с. 231)
скриншот условия

461. а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$;
б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$;
в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$;
г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$.
Решение 1. №461 (с. 231)


Решение 3. №461 (с. 231)

Решение 4. №461 (с. 231)

Решение 5. №461 (с. 231)
а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$
Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, чтобы объединить основания, так как показатели степеней одинаковы:
$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$
Упростим выражение в скобках, сократив дроби:
$(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8})^x = (\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4})^x = (\frac{3}{4})^x$
Теперь уравнение имеет вид:
$(\frac{3}{4})^x = \frac{27}{64}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$. Заметим, что $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$.
$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$
Подставим это в уравнение:
$(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^3$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 3$
Ответ: 3
б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$
Представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$(8^{x-3})^{\frac{1}{2}} = (4^{2-x})^{\frac{1}{3}}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:
$8^{\frac{x-3}{2}} = 4^{\frac{2-x}{3}}$
Приведем основания степеней к общему основанию 2, так как $8=2^3$ и $4=2^2$:
$(2^3)^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{2-x}{3}}$
$2^{\frac{3(x-3)}{2}} = 2^{\frac{2(2-x)}{3}}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$\frac{3(x-3)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$
Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от знаменателей:
$3 \cdot 3(x-3) = 2 \cdot 2(2-x)$
$9(x-3) = 4(2-x)$
$9x - 27 = 8 - 4x$
$9x + 4x = 8 + 27$
$13x = 35$
$x = \frac{35}{13}$
Ответ: $\frac{35}{13}$
в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$
Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 36$
Применим свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ под корнем:
$\sqrt{(2 \cdot 3)^x} = 36$
$\sqrt{6^x} = 36$
Представим корень в виде степени с дробным показателем:
$6^{\frac{x}{2}} = 36$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 6:
$36 = 6^2$
Получаем уравнение:
$6^{\frac{x}{2}} = 6^2$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: 4
г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$
Чтобы решить уравнение, приведем степени к одному основанию. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Преобразуем правую часть уравнения, приведя ее к основанию $\frac{3}{7}$:
$(\frac{7}{3})^{5x-3} = (\frac{3}{7})^{-(5x-3)} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$
Теперь уравнение имеет вид:
$(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3x + 1 = -5x + 3$
Решим полученное линейное уравнение:
$3x + 5x = 3 - 1$
$8x = 2$
$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 461 расположенного на странице 231 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №461 (с. 231), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.