Номер 465, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 465, страница 231.

Условие.

465. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 3^{2y-x} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \left(\frac{1}{5}\right)^{4x-y} = 25, \\ 7^{9x-y} = \sqrt{7}. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $
Представим числа в правых частях уравнений в виде степеней с основанием 4.
$16 = 4^2$
$1 = 4^0$
Тогда система примет вид: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2, \\ 4^{x+2y-1} = 4^0; \end{cases} $
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y-1 = 0; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2-y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(2-y) + 2y - 1 = 0$
$1+y = 0$
$y = -1$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x=2-y$:
$x = 2 - (-1) = 3$
Ответ: $(3, -1)$.

б) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $
Представим правые части уравнений в виде степеней с соответствующими основаниями.
$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$
Система примет вид: $ \begin{cases} 6^{3x-y} = 6^{\frac{1}{2}}, \\ 2^{y-2x} = 2^{-\frac{1}{2}}; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ y-2x = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(3x-y) + (y-2x) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})$
$x = 0$
Подставим значение $x=0$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$y - 2(0) = -\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2}$
Ответ: $(0, -\frac{1}{2})$.

в) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^{2y-x} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27; \end{cases} $
Представим числа в правых частях уравнений в виде степеней с основанием 3.
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
$27 = 3^3$
Система примет вид: $ \begin{cases} 3^{2y-x} = 3^{-4}, \\ 3^{x-y+2} = 3^3; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 2y-x = -4, \\ x-y+2 = 3; \end{cases} $
Упростим второе уравнение: $x-y = 1$. Перепишем систему: $ \begin{cases} -x+2y = -4, \\ x-y = 1; \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(-x+2y) + (x-y) = -4 + 1$
$y = -3$
Подставим значение $y=-3$ во второе уравнение ($x-y=1$):
$x - (-3) = 1$
$x + 3 = 1$
$x = -2$
Ответ: $(-2, -3)$.

г) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} (\frac{1}{5})^{4x-y} = 25, \\ 7^{9x-y} = \sqrt{7}; \end{cases} $
Представим правые части уравнений в виде степеней с соответствующими основаниями.
$25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$
$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$
Система примет вид: $ \begin{cases} (\frac{1}{5})^{4x-y} = (\frac{1}{5})^{-2}, \\ 7^{9x-y} = 7^{\frac{1}{2}}; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 4x-y = -2, \\ 9x-y = \frac{1}{2}; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(9x-y) - (4x-y) = \frac{1}{2} - (-2)$
$5x = \frac{1}{2} + 2$
$5x = \frac{5}{2}$
$x = \frac{1}{2}$
Подставим значение $x=\frac{1}{2}$ в первое уравнение системы:
$4(\frac{1}{2}) - y = -2$
$2 - y = -2$
$-y = -4$
$y = 4$
Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.