Номер 463, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 463, страница 231.

Условие.

463. а) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539;$

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 3^x = 15;$

в) $4^{x+1} + 4^x = 320;$

г) $3 \cdot 5^{x+3} + 2 \cdot 5^{x+1} = 77.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539$
Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$7^x \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^x \cdot 7^1 = 539$
$49 \cdot 7^x + 28 \cdot 7^x = 539$
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x (49 + 28) = 539$
$7^x \cdot 77 = 539$
Разделим обе части уравнения на 77:
$7^x = \frac{539}{77}$
$7^x = 7$
Представим 7 как $7^1$:
$7^x = 7^1$
Отсюда следует, что $x = 1$.
Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 3^x = 15$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2 \cdot (3^x \cdot 3^1) - 3^x = 15$
$6 \cdot 3^x - 3^x = 15$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (6 - 1) = 15$
$3^x \cdot 5 = 15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$3^x = \frac{15}{5}$
$3^x = 3$
Представим 3 как $3^1$:
$3^x = 3^1$
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.

в) $4^{x+1} + 4^x = 320$
Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x = 320$
$4 \cdot 4^x + 4^x = 320$
Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:
$4^x (4 + 1) = 320$
$4^x \cdot 5 = 320$
Разделим обе части уравнения на 5:
$4^x = \frac{320}{5}$
$4^x = 64$
Представим 64 как степень числа 4: $64 = 4^3$.
$4^x = 4^3$
Отсюда $x = 3$.
Ответ: $3$.

г) $3 \cdot 5^{x+3} + 2 \cdot 5^{x+1} = 77$
Преобразуем уравнение с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3 \cdot (5^x \cdot 5^3) + 2 \cdot (5^x \cdot 5^1) = 77$
$3 \cdot 125 \cdot 5^x + 2 \cdot 5 \cdot 5^x = 77$
$375 \cdot 5^x + 10 \cdot 5^x = 77$
Вынесем $5^x$ за скобки:
$5^x (375 + 10) = 77$
$5^x \cdot 385 = 77$
Разделим обе части на 385:
$5^x = \frac{77}{385}$
Сократим дробь на 77:
$5^x = \frac{1}{5}$
Представим $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$5^x = 5^{-1}$
Следовательно, $x = -1$.
Ответ: $-1$.