Номер 467, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 467, страница 231.

Условие.

467. a) $4^{5-2x} \leq 0.25;$

б) $0.3^{7+4x} > 0.027;$

в) $0.4^{2x+1} > 0.16;$

г) $3^{2-x} < 27.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы решить показательное неравенство $4^{5-2x} \le 0,25$, приведем обе его части к одному основанию.
Правая часть: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $4^{5-2x} \le 4^{-1}$.
Основание степени $a=4$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
Получаем линейное неравенство:
$5 - 2x \le -1$
Перенесем 5 в правую часть:
$-2x \le -1 - 5$
$-2x \le -6$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{-6}{-2}$
$x \ge 3$
Решением является числовой промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,3^{7+4x} > 0,027$.
Приведем обе части к основанию 0,3.
Правая часть: $0,027 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,3^3$.
Неравенство принимает вид: $0,3^{7+4x} > 0,3^3$.
Основание степени $a=0,3$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y=0,3^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем линейное неравенство:
$7 + 4x < 3$
Перенесем 7 в правую часть:
$4x < 3 - 7$
$4x < -4$
Разделим обе части на 4:
$x < -1$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

в) Решим неравенство $0,4^{2x+1} > 0,16$.
Приведем обе части к основанию 0,4.
Правая часть: $0,16 = 0,4^2$.
Неравенство принимает вид: $0,4^{2x+1} > 0,4^2$.
Основание степени $a=0,4$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y=0,4^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем линейное неравенство:
$2x + 1 < 2$
Перенесем 1 в правую часть:
$2x < 2 - 1$
$2x < 1$
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{1}{2}$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, \frac{1}{2})$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$.

г) Решим неравенство $3^{2-x} < 27$.
Приведем обе части к основанию 3.
Правая часть: $27 = 3^3$.
Неравенство принимает вид: $3^{2-x} < 3^3$.
Основание степени $a=3$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется.
Получаем линейное неравенство:
$2 - x < 3$
Перенесем 2 в правую часть:
$-x < 3 - 2$
$-x < 1$
Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -1$
Решением является числовой промежуток $(-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.