Номер 473, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 473, страница 232.
№473 (с. 232)
Условие. №473 (с. 232)
скриншот условия

473. а) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} > 2,5;$
б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448;$
в) $\left(\frac{4}{3}\right)^{x+1} - \left(\frac{4}{3}\right)^{x} > \frac{3}{16};$
г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28.$
Решение 1. №473 (с. 232)


Решение 3. №473 (с. 232)

Решение 5. №473 (с. 232)
а) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2,5$
Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{2}{3})^x$ за скобки. Для этого представим $(\frac{2}{3})^{x-1}$ как $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$.
$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1} > 2,5$
$(\frac{2}{3})^x \left(1 + (\frac{2}{3})^{-1}\right) > 2,5$
Упростим выражение в скобках:
$1 + (\frac{2}{3})^{-1} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$
Подставим полученное значение обратно в неравенство:
$(\frac{2}{3})^x \cdot 2,5 > 2,5$
Разделим обе части на 2,5. Так как 2,5 > 0, знак неравенства не изменится:
$(\frac{2}{3})^x > 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^0$
Так как основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.
б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{2x-3}$:
$2^{2x-3}(2^{(2x-1)-(2x-3)} + 2^{(2x-2)-(2x-3)} + 1) < 448$
$2^{2x-3}(2^2 + 2^1 + 1) < 448$
Упростим выражение в скобках:
$4 + 2 + 1 = 7$
Неравенство принимает вид:
$2^{2x-3} \cdot 7 < 448$
Разделим обе части на 7:
$2^{2x-3} < \frac{448}{7}$
$2^{2x-3} < 64$
Представим 64 как степень с основанием 2:
$64 = 2^6$
$2^{2x-3} < 2^6$
Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$2x - 3 < 6$
$2x < 9$
$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4,5$
Ответ: $x \in (-\infty; 4,5)$.
в) $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$
Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{4}{3})^x$ за скобки:
$(\frac{4}{3})^x \cdot (\frac{4}{3})^1 - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$
$(\frac{4}{3})^x \left(\frac{4}{3} - 1\right) > \frac{3}{16}$
Упростим выражение в скобках:
$\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$
Неравенство принимает вид:
$(\frac{4}{3})^x \cdot \frac{1}{3} > \frac{3}{16}$
Умножим обе части на 3:
$(\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16} \cdot 3$
$(\frac{4}{3})^x > \frac{9}{16}$
Представим $\frac{9}{16}$ как степень с основанием $\frac{4}{3}$:
$\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$
Неравенство принимает вид:
$(\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^{-2}$
Так как основание степени $\frac{4}{3}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$x > -2$
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.
г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-1}$:
$3^{x-1}(3^{(x+2)-(x-1)} + 1) < 28$
$3^{x-1}(3^3 + 1) < 28$
Упростим выражение в скобках:
$27 + 1 = 28$
Неравенство принимает вид:
$3^{x-1} \cdot 28 < 28$
Разделим обе части на 28:
$3^{x-1} < 1$
Представим 1 как степень с основанием 3:
$3^{x-1} < 3^0$
Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$x - 1 < 0$
$x < 1$
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 473 расположенного на странице 232 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №473 (с. 232), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.