Номер 473, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 473, страница 232.

Условие.

473. а) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} > 2,5;$

б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448;$

в) $\left(\frac{4}{3}\right)^{x+1} - \left(\frac{4}{3}\right)^{x} > \frac{3}{16};$

г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2,5$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{2}{3})^x$ за скобки. Для этого представим $(\frac{2}{3})^{x-1}$ как $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$.

$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1} > 2,5$

$(\frac{2}{3})^x \left(1 + (\frac{2}{3})^{-1}\right) > 2,5$

Упростим выражение в скобках:

$1 + (\frac{2}{3})^{-1} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$(\frac{2}{3})^x \cdot 2,5 > 2,5$

Разделим обе части на 2,5. Так как 2,5 > 0, знак неравенства не изменится:

$(\frac{2}{3})^x > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^0$

Так как основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{2x-3}$:

$2^{2x-3}(2^{(2x-1)-(2x-3)} + 2^{(2x-2)-(2x-3)} + 1) < 448$

$2^{2x-3}(2^2 + 2^1 + 1) < 448$

Упростим выражение в скобках:

$4 + 2 + 1 = 7$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x-3} \cdot 7 < 448$

Разделим обе части на 7:

$2^{2x-3} < \frac{448}{7}$

$2^{2x-3} < 64$

Представим 64 как степень с основанием 2:

$64 = 2^6$

$2^{2x-3} < 2^6$

Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < 6$

$2x < 9$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4,5$

Ответ: $x \in (-\infty; 4,5)$.

в) $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{4}{3})^x$ за скобки:

$(\frac{4}{3})^x \cdot (\frac{4}{3})^1 - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$

$(\frac{4}{3})^x \left(\frac{4}{3} - 1\right) > \frac{3}{16}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{4}{3})^x \cdot \frac{1}{3} > \frac{3}{16}$

Умножим обе части на 3:

$(\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16} \cdot 3$

$(\frac{4}{3})^x > \frac{9}{16}$

Представим $\frac{9}{16}$ как степень с основанием $\frac{4}{3}$:

$\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^{-2}$

Так как основание степени $\frac{4}{3}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-1}$:

$3^{x-1}(3^{(x+2)-(x-1)} + 1) < 28$

$3^{x-1}(3^3 + 1) < 28$

Упростим выражение в скобках:

$27 + 1 = 28$

Неравенство принимает вид:

$3^{x-1} \cdot 28 < 28$

Разделим обе части на 28:

$3^{x-1} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 3:

$3^{x-1} < 3^0$

Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.