Номер 469, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 469, страница 232.

Условие.

469. —

a) $5^{x+1} = 8^{x+1}$;

б) $(\frac{1}{3})^{x-1} = (\frac{1}{4})^{1-x}$;

в) $7^{x-2} = 4^{2-x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $5^{x+1} = 8^{x+1}$

Данное показательное уравнение имеет разные основания ($5$ и $8$), но одинаковые показатели степени ($x+1$). Равенство вида $a^y = b^y$, где $a, b > 0$ и $a \ne b$, выполняется только в том случае, когда показатель степени $y$ равен нулю. Это связано с тем, что любое положительное число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$).

Следовательно, приравняем показатель степени к нулю, чтобы найти решение:

$x + 1 = 0$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$x = -1$

Проверка: Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$5^{-1+1} = 8^{-1+1}$

$5^0 = 8^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = -1$

б) $(\frac{1}{3})^{x-1} = (\frac{1}{4})^{1-x}$

В этом уравнении разные основания ($\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$) и, на первый взгляд, разные показатели ($x-1$ и $1-x$). Однако заметим, что показатели являются противоположными числами: $1-x = -(x-1)$.

Воспользуемся свойством степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$. Преобразуем правую часть уравнения:

$(\frac{1}{4})^{1-x} = (\frac{1}{4})^{-(x-1)} = ((\frac{1}{4})^{-1})^{x-1} = 4^{x-1}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{1}{3})^{x-1} = 4^{x-1}$

Мы получили уравнение с разными основаниями и одинаковым показателем степени $x-1$. Как и в предыдущем задании, такое равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x - 1 = 0$

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$x = 1$

Проверка: Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$(\frac{1}{3})^{1-1} = (\frac{1}{4})^{1-1}$

$(\frac{1}{3})^0 = (\frac{1}{4})^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 1$

в) $7^{x-2} = 4^{2-x}$

В данном уравнении основания разные ($7$ и $4$), а показатели степеней ($x-2$ и $2-x$) являются противоположными числами, так как $2-x = -(x-2)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$4^{2-x} = 4^{-(x-2)} = \frac{1}{4^{x-2}}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$7^{x-2} = \frac{1}{4^{x-2}}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $4^{x-2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$7^{x-2} \cdot 4^{x-2} = 1$

Теперь воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:

$(7 \cdot 4)^{x-2} = 1$

$28^{x-2} = 1$

Это равенство будет верным только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x - 2 = 0$

Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$x = 2$

Проверка: Подставим $x = 2$ в исходное уравнение:

$7^{2-2} = 4^{2-2}$

$7^0 = 4^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 2$