Номер 474, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 474, страница 232.

Условие.

474.-

a) $\pi^x - \pi^{2x} \ge 0;$

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0;$

В) $4^x - 2^{x+1} - 8 > 0;$

г) $\left(\frac{1}{36}\right)^{x} - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное неравенство: $ \pi^x - \pi^{2x} \ge 0 $.
Перенесем $ \pi^{2x} $ в правую часть: $ \pi^x \ge \pi^{2x} $.
Основание степени $ \pi $ (число Пи) больше 1 ($ \pi \approx 3.14 > 1 $). Для показательной функции с основанием больше 1, большему значению функции соответствует большее значение показателя. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$ x \ge 2x $
$ x - 2x \ge 0 $
$ -x \ge 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ x \le 0 $
Ответ: $ x \in (-\infty, 0] $.

б) Исходное неравенство: $ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0 $.
Приведем все степени к одному основанию 3. Используем свойство $ \frac{1}{a} = a^{-1} $:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} = (3^{-1})^{2x-1} = 3^{-1 \cdot (2x-1)} = 3^{-2x+1} = 3^{-2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^{-x})^2 $.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$ 3 \cdot (3^{-x})^2 - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0 $.
Введем замену переменной. Пусть $ t = 3^{-x} $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $ t $:
$ 3t^2 - 10t + 3 < 0 $.
Найдем корни соответствующего уравнения $ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $ с помощью дискриминанта:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $.
$ t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
$ t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $.
Так как коэффициент при $ t^2 $ положителен, ветви параболы $ y = 3t^2 - 10t + 3 $ направлены вверх. Следовательно, неравенство $ 3t^2 - 10t + 3 < 0 $ выполняется между корнями: $ \frac{1}{3} < t < 3 $.
Это решение удовлетворяет условию $ t > 0 $.
Вернемся к переменной $ x $:
$ \frac{1}{3} < 3^{-x} < 3 $.
Представим $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $ и $ 3 $ как $ 3^1 $:
$ 3^{-1} < 3^{-x} < 3^1 $.
Так как основание $ 3 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки:
$ -1 < -x < 1 $.
Умножим все части двойного неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:
$ 1 > x > -1 $, что то же самое, что и $ -1 < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (-1, 1) $.

в) Исходное неравенство: $ 4^x - 2^{x+1} - 8 > 0 $.
Приведем все степени к основанию 2. Используем свойства $ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 $ и $ 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x $.
Неравенство принимает вид:
$ (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 > 0 $.
Сделаем замену. Пусть $ t = 2^x $. Так как $ 2^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $.
Получаем квадратное неравенство:
$ t^2 - 2t - 8 > 0 $.
Найдем корни уравнения $ t^2 - 2t - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 4 $.
Ветви параболы $ y = t^2 - 2t - 8 $ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $ t < -2 $ или $ t > 4 $.
Учитывая ограничение $ t > 0 $, отбрасываем решение $ t < -2 $. Остается $ t > 4 $.
Выполним обратную замену:
$ 2^x > 4 $.
$ 2^x > 2^2 $.
Так как основание $ 2 > 1 $, переходим к неравенству для показателей:
$ x > 2 $.
Ответ: $ x \in (2, +\infty) $.

г) Исходное неравенство: $ \left(\frac{1}{36}\right)^x - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0 $.
Приведем степени к одному основанию 6. Используем свойство $ \frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2} $.
$ \left(\frac{1}{36}\right)^x = (6^{-2})^x = 6^{-2x} = (6^{-x})^2 $.
Неравенство переписывается в виде:
$ (6^{-x})^2 - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0 $.
Сделаем замену. Пусть $ t = 6^{-x} $. Так как $ 6^{-x} > 0 $, то $ t > 0 $.
Получаем квадратное неравенство:
$ t^2 - 5t - 6 \le 0 $.
Найдем корни уравнения $ t^2 - 5t - 6 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -6. Корни: $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = 6 $.
Ветви параболы $ y = t^2 - 5t - 6 $ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их): $ -1 \le t \le 6 $.
Учитывая ограничение $ t > 0 $, получаем $ 0 < t \le 6 $.
Выполним обратную замену:
$ 0 < 6^{-x} \le 6 $.
Левая часть неравенства, $ 6^{-x} > 0 $, верна для любого действительного $ x $.
Решим правую часть: $ 6^{-x} \le 6^1 $.
Так как основание $ 6 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$ -x \le 1 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ x \ge -1 $.
Ответ: $ x \in [-1, +\infty) $.