Номер 472, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 472, страница 232.

Условие.

Решите неравенства (472–474).

472. a) $2^{x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3};$

б) $\left(\frac{1}{25}\right)^{2x} < (\sqrt{5})^{x^2+3,75};$

в) $3^{4x+3} \leqslant \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x^2}{2}};$

г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{10x} > 64^{\frac{2}{3}-x^2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $2^{x^2} > (\frac{1}{2})^{2x-3}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2, так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$(2)^{-1 \cdot (2x-3)} = 2^{-2x+3}$

Неравенство принимает вид:

$2^{x^2} > 2^{3-2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 > 3-2x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

б) $(\frac{1}{25})^{2x} < (\sqrt{5})^{x^2 + 3.75}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Учтем, что $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство преобразуется к виду:

$(5^{-2})^{2x} < (5^{\frac{1}{2}})^{x^2 + 3.75}$

$5^{-4x} < 5^{\frac{1}{2}(x^2 + 3.75)}$

Поскольку основание $5 > 1$, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-4x < \frac{1}{2}(x^2 + 3.75)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$-8x < x^2 + 3.75$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 + 8x + 3.75$

Для удобства решения умножим неравенство на 4, представив $3.75 = \frac{15}{4}$:

$4x^2 + 32x + 15 > 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 + 32x + 15 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 32^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 1024 - 240 = 784 = 28^2$

$x_1 = \frac{-32 - 28}{2 \cdot 4} = \frac{-60}{8} = -7.5$

$x_2 = \frac{-32 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0.5$

Парабола $y = 4x^2 + 32x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -7.5) \cup (-0.5; +\infty)$.

в) $3^{4x+3} \le (\frac{1}{9})^{\frac{x^2}{2}}$

Приведем обе части к основанию 3. Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, неравенство принимает вид:

$3^{4x+3} \le (3^{-2})^{\frac{x^2}{2}}$

$3^{4x+3} \le 3^{-2 \cdot \frac{x^2}{2}}$

$3^{4x+3} \le 3^{-x^2}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$4x + 3 \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; -1]$.

г) $(\frac{1}{4})^{10x} > 64^{\frac{2}{3} - x^2}$

Приведем обе части к основанию 4. Заметим, что $\frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $64 = 4^3$.

Неравенство преобразуется к виду:

$(4^{-1})^{10x} > (4^3)^{\frac{2}{3} - x^2}$

$4^{-10x} > 4^{3(\frac{2}{3} - x^2)}$

$4^{-10x} > 4^{2 - 3x^2}$

Так как основание $4 > 1$, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-10x > 2 - 3x^2$

$3x^2 - 10x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x - 2 = 0$ через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 100 + 24 = 124$

$\sqrt{D} = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$

Корни уравнения:

$x = \frac{10 \pm 2\sqrt{31}}{2 \cdot 3} = \frac{2(5 \pm \sqrt{31})}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{3}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{31}}{3}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{31}}{3}$

Парабола $y = 3x^2 - 10x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{5 + \sqrt{31}}{3}; +\infty)$.