Номер 471, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 471, страница 232.

Условие.

471.— Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}5^{x+y} = 125, \\4^{(x-y)^2-1} = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x+y=5, \\4^x+4^y=80;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3^x+3^y=12, \\6^{x+y}=216;\end{cases}$

г) $\begin{cases}4^{x+y}=128, \\5^{3x-2y-3}=1.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 4^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases} $Преобразуем первое уравнение, зная, что $ 125 = 5^3 $:$ 5^{x+y} = 5^3 $Из этого следует, что показатели степеней равны:$ x+y = 3 $Теперь преобразуем второе уравнение, зная, что любое число в степени 0 равно 1, т.е. $ 1 = 4^0 $:$ 4^{(x-y)^2-1} = 4^0 $Приравниваем показатели степеней:$ (x-y)^2-1 = 0 $$ (x-y)^2 = 1 $Это уравнение имеет два решения:$ x-y = 1 $ или $ x-y = -1 $Теперь нам нужно решить две системы линейных уравнений.1) Решим систему:$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $Сложим два уравнения системы: $ (x+y) + (x-y) = 3+1 $, что дает $ 2x = 4 $, откуда $ x=2 $.Подставим значение $ x=2 $ в первое уравнение: $ 2+y = 3 $, откуда $ y=1 $.Первое решение: $ (2, 1) $.2) Решим вторую систему:$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $Сложим два уравнения системы: $ (x+y) + (x-y) = 3+(-1) $, что дает $ 2x = 2 $, откуда $ x=1 $.Подставим значение $ x=1 $ в первое уравнение: $ 1+y = 3 $, откуда $ y=2 $.Второе решение: $ (1, 2) $.Ответ: $ (2, 1); (1, 2) $.

б)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} x + y = 5, \\ 4^x + 4^y = 80; \end{cases} $Из первого уравнения выразим $ y $: $ y = 5-x $.Подставим это выражение во второе уравнение:$ 4^x + 4^{5-x} = 80 $Используя свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $, получаем:$ 4^x + \frac{4^5}{4^x} = 80 $Так как $ 4^5 = 1024 $, уравнение принимает вид:$ 4^x + \frac{1024}{4^x} = 80 $Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 4^x $. Так как показательная функция всегда положительна, $ t>0 $.$ t + \frac{1024}{t} = 80 $Умножим обе части на $ t $ (так как $ t \ne 0 $):$ t^2 + 1024 = 80t $Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$ t^2 - 80t + 1024 = 0 $Решим это уравнение с помощью дискриминанта:$ D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1024 = 6400 - 4096 = 2304 $$ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 $Найдем корни для $ t $:$ t_1 = \frac{80 + 48}{2} = \frac{128}{2} = 64 $$ t_2 = \frac{80 - 48}{2} = \frac{32}{2} = 16 $Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене.1) Если $ t=64 $:$ 4^x = 64 \Rightarrow 4^x = 4^3 \Rightarrow x=3 $.Тогда $ y = 5 - x = 5 - 3 = 2 $.Первое решение: $ (3, 2) $.2) Если $ t=16 $:$ 4^x = 16 \Rightarrow 4^x = 4^2 \Rightarrow x=2 $.Тогда $ y = 5 - x = 5 - 2 = 3 $.Второе решение: $ (2, 3) $.Ответ: $ (3, 2); (2, 3) $.

в)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases} $Преобразуем второе уравнение, зная, что $ 216 = 6^3 $:$ 6^{x+y} = 6^3 $Отсюда следует, что $ x+y = 3 $.Выразим $ y $ через $ x $: $ y = 3-x $.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$ 3^x + 3^{3-x} = 12 $Используем свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $:$ 3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12 $$ 3^x + \frac{27}{3^x} = 12 $Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $, где $ t > 0 $.$ t + \frac{27}{t} = 12 $Умножим на $ t $:$ t^2 + 27 = 12t $$ t^2 - 12t + 27 = 0 $Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение 27. Корни легко находятся: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = 9 $.Оба корня положительны. Вернемся к замене.1) Если $ t=3 $:$ 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x=1 $.Тогда $ y = 3 - x = 3 - 1 = 2 $.Первое решение: $ (1, 2) $.2) Если $ t=9 $:$ 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x=2 $.Тогда $ y = 3 - x = 3 - 2 = 1 $.Второе решение: $ (2, 1) $.Ответ: $ (1, 2); (2, 1) $.

г)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1. \end{cases} $Преобразуем первое уравнение, приведя обе части к основанию 2: $ 4 = 2^2 $ и $ 128 = 2^7 $.$ (2^2)^{x+y} = 2^7 $$ 2^{2(x+y)} = 2^7 $Приравниваем показатели:$ 2(x+y) = 7 \Rightarrow 2x + 2y = 7 $.Теперь преобразуем второе уравнение, зная, что $ 1 = 5^0 $:$ 5^{3x-2y-3} = 5^0 $Приравниваем показатели:$ 3x-2y-3=0 \Rightarrow 3x-2y = 3 $.В результате мы получили систему двух линейных уравнений:$ \begin{cases} 2x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 3 \end{cases} $Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $ y $:$ (2x+2y) + (3x-2y) = 7+3 $$ 5x = 10 $$ x = 2 $Подставим найденное значение $ x=2 $ в первое уравнение $ 2x+2y=7 $:$ 2(2) + 2y = 7 $$ 4 + 2y = 7 $$ 2y = 7 - 4 $$ 2y = 3 $$ y = \frac{3}{2} $Решение системы: $ (2, \frac{3}{2}) $.Ответ: $ (2, \frac{3}{2}) $.