Страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

460.-

a) $4^x = 64$;

б) $(\frac{1}{3})^x = 27$;

в) $3^x = 81$;

г) $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64}$.

а)

Дано показательное уравнение $4^x = 64$.

Для решения этого уравнения необходимо представить обе части в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае удобным основанием является 4.

Представим правую часть уравнения, число 64, как степень числа 4:

$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$4^x = 4^3$.

Поскольку основания степеней равны ($a^f(x) = a^g(x) \Rightarrow f(x)=g(x)$), мы можем приравнять их показатели:

$x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

б)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 27$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы преобразовать левую часть:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.

Теперь представим правую часть, число 27, как степень числа 3:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

Уравнение принимает вид:

$3^{-x} = 3^3$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:

$-x = 3$.

Отсюда находим x, умножив обе части на -1:

$x = -3$.

Ответ: $x = -3$.

в)

Дано показательное уравнение $3^x = 81$.

Представим правую часть уравнения, число 81, в виде степени с основанием 3:

$81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$3^x = 3^4$.

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64}$.

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Удобное основание здесь — $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим правую часть уравнения. Знаменатель 64 можно представить как степень числа 2:

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Тогда дробь $\frac{1}{64}$ можно записать как $\frac{1}{2^6}$.

Используя свойство степеней $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$\frac{1}{64} = \frac{1^6}{2^6} = (\frac{1}{2})^6$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6$.

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 6$.

Ответ: $x = 6$.

461. а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$;

б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$;

в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$;

г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$.

а) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, чтобы объединить основания, так как показатели степеней одинаковы:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = \frac{27}{64}$

Упростим выражение в скобках, сократив дроби:

$(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8})^x = (\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4})^x = (\frac{3}{4})^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{3}{4})^x = \frac{27}{64}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$. Заметим, что $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$.

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Подставим это в уравнение:

$(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$(8^{x-3})^{\frac{1}{2}} = (4^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$8^{\frac{x-3}{2}} = 4^{\frac{2-x}{3}}$

Приведем основания степеней к общему основанию 2, так как $8=2^3$ и $4=2^2$:

$(2^3)^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{2-x}{3}}$

$2^{\frac{3(x-3)}{2}} = 2^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{3(x-3)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot 3(x-3) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-3) = 4(2-x)$

$9x - 27 = 8 - 4x$

$9x + 4x = 8 + 27$

$13x = 35$

$x = \frac{35}{13}$

Ответ: $\frac{35}{13}$

в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$

Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 36$

Применим свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ под корнем:

$\sqrt{(2 \cdot 3)^x} = 36$

$\sqrt{6^x} = 36$

Представим корень в виде степени с дробным показателем:

$6^{\frac{x}{2}} = 36$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 6:

$36 = 6^2$

Получаем уравнение:

$6^{\frac{x}{2}} = 6^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x}{2} = 2$

$x = 4$

Ответ: 4

г) $(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$

Чтобы решить уравнение, приведем степени к одному основанию. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя ее к основанию $\frac{3}{7}$:

$(\frac{7}{3})^{5x-3} = (\frac{3}{7})^{-(5x-3)} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-5x+3}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3x + 1 = -5x + 3$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x + 5x = 3 - 1$

$8x = 2$

$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

462. a) $3^{6 - x} = 3^{3x - 2};$

Б) $\sqrt{3^x} = 9;$

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2 + x - 0,5} = \frac{\sqrt{7}}{7};$

Г) $2^{x^2 + 2x - 0,5} = 4\sqrt{2}.$

a) $3^{6-x} = 3^{3x-2}$

Данное уравнение является показательным. Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны (равны 3), мы можем приравнять их показатели:

$6 - x = 3x - 2$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения – в другую:

$6 + 2 = 3x + x$

$8 = 4x$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2+x-0.5} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 7.

Преобразуем левую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$(\frac{1}{7})^{2x^2+x-0.5} = (7^{-1})^{2x^2+x-0.5} = 7^{-1 \cdot (2x^2+x-0.5)} = 7^{-2x^2-x+0.5}$

Преобразуем правую часть: $\sqrt{7} = 7^{0.5}$.

$\frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{7^{0.5}}{7^1} = 7^{0.5-1} = 7^{-0.5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$7^{-2x^2-x+0.5} = 7^{-0.5}$

Приравниваем показатели степеней:

$-2x^2-x+0.5 = -0.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-2x^2-x+0.5+0.5 = 0$

$-2x^2-x+1 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2x^2+x-1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=2, b=1, c=-1$

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $x_1=0.5; x_2=-1$

в) $\sqrt{3^x} = 9$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Преобразуем левую часть, используя свойство корня: $\sqrt{a} = a^{1/2}$.

$\sqrt{3^x} = (3^x)^{1/2} = 3^{\frac{x}{2}}$

Преобразуем правую часть: $9 = 3^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{2} = 2$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

г) $2^{x^2+2x-0.5} = 4\sqrt{2}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Левая часть уже имеет основание 2.

Преобразуем правую часть: $4=2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{0.5}$.

$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{0.5} = 2^{2+0.5} = 2^{2.5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2+2x-0.5} = 2^{2.5}$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2+2x-0.5 = 2.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+2x-0.5-2.5 = 0$

$x^2+2x-3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=2, c=-3$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1=1; x_2=-3$

463. а) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539;$

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 3^x = 15;$

в) $4^{x+1} + 4^x = 320;$

г) $3 \cdot 5^{x+3} + 2 \cdot 5^{x+1} = 77.$

а) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539$
Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$7^x \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^x \cdot 7^1 = 539$
$49 \cdot 7^x + 28 \cdot 7^x = 539$
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x (49 + 28) = 539$
$7^x \cdot 77 = 539$
Разделим обе части уравнения на 77:
$7^x = \frac{539}{77}$
$7^x = 7$
Представим 7 как $7^1$:
$7^x = 7^1$
Отсюда следует, что $x = 1$.
Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 3^x = 15$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2 \cdot (3^x \cdot 3^1) - 3^x = 15$
$6 \cdot 3^x - 3^x = 15$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (6 - 1) = 15$
$3^x \cdot 5 = 15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$3^x = \frac{15}{5}$
$3^x = 3$
Представим 3 как $3^1$:
$3^x = 3^1$
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.

в) $4^{x+1} + 4^x = 320$
Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x = 320$
$4 \cdot 4^x + 4^x = 320$
Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:
$4^x (4 + 1) = 320$
$4^x \cdot 5 = 320$
Разделим обе части уравнения на 5:
$4^x = \frac{320}{5}$
$4^x = 64$
Представим 64 как степень числа 4: $64 = 4^3$.
$4^x = 4^3$
Отсюда $x = 3$.
Ответ: $3$.

г) $3 \cdot 5^{x+3} + 2 \cdot 5^{x+1} = 77$
Преобразуем уравнение с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3 \cdot (5^x \cdot 5^3) + 2 \cdot (5^x \cdot 5^1) = 77$
$3 \cdot 125 \cdot 5^x + 2 \cdot 5 \cdot 5^x = 77$
$375 \cdot 5^x + 10 \cdot 5^x = 77$
Вынесем $5^x$ за скобки:
$5^x (375 + 10) = 77$
$5^x \cdot 385 = 77$
Разделим обе части на 385:
$5^x = \frac{77}{385}$
Сократим дробь на 77:
$5^x = \frac{1}{5}$
Представим $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$5^x = 5^{-1}$
Следовательно, $x = -1$.
Ответ: $-1$.

464. a) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0;$

б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0;$

B) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0;$

г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0.$

а) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается условие $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0$

Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2$. Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.

Пусть $t = 10^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 11t + 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, решим его с помощью теоремы Виета:

$t_1 + t_2 = 11$

$t_1 \cdot t_2 = 10$

Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $10^x = t_1 \implies 10^x = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x = 0$.

2) $10^x = t_2 \implies 10^x = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

в) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$.

Введем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t - 12 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$

$t_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, значит, он посторонний.

Корень $t_2 = 6$ подходит.

Сделаем обратную замену:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0$

Так как $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$, данное уравнение можно свести к квадратному.

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 8$

$t_1 \cdot t_2 = 7$

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительные, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 \implies 7^x = 1 \implies 7^x = 7^0 \implies x = 0$.

2) $7^x = t_2 \implies 7^x = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

465. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 3^{2y-x} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \left(\frac{1}{5}\right)^{4x-y} = 25, \\ 7^{9x-y} = \sqrt{7}. \end{cases}$$

а) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $
Представим числа в правых частях уравнений в виде степеней с основанием 4.
$16 = 4^2$
$1 = 4^0$
Тогда система примет вид: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2, \\ 4^{x+2y-1} = 4^0; \end{cases} $
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y-1 = 0; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2-y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(2-y) + 2y - 1 = 0$
$1+y = 0$
$y = -1$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x=2-y$:
$x = 2 - (-1) = 3$
Ответ: $(3, -1)$.

б) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $
Представим правые части уравнений в виде степеней с соответствующими основаниями.
$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$
Система примет вид: $ \begin{cases} 6^{3x-y} = 6^{\frac{1}{2}}, \\ 2^{y-2x} = 2^{-\frac{1}{2}}; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ y-2x = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(3x-y) + (y-2x) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})$
$x = 0$
Подставим значение $x=0$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$y - 2(0) = -\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2}$
Ответ: $(0, -\frac{1}{2})$.

в) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^{2y-x} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27; \end{cases} $
Представим числа в правых частях уравнений в виде степеней с основанием 3.
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
$27 = 3^3$
Система примет вид: $ \begin{cases} 3^{2y-x} = 3^{-4}, \\ 3^{x-y+2} = 3^3; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 2y-x = -4, \\ x-y+2 = 3; \end{cases} $
Упростим второе уравнение: $x-y = 1$. Перепишем систему: $ \begin{cases} -x+2y = -4, \\ x-y = 1; \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(-x+2y) + (x-y) = -4 + 1$
$y = -3$
Подставим значение $y=-3$ во второе уравнение ($x-y=1$):
$x - (-3) = 1$
$x + 3 = 1$
$x = -2$
Ответ: $(-2, -3)$.

г) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} (\frac{1}{5})^{4x-y} = 25, \\ 7^{9x-y} = \sqrt{7}; \end{cases} $
Представим правые части уравнений в виде степеней с соответствующими основаниями.
$25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$
$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$
Система примет вид: $ \begin{cases} (\frac{1}{5})^{4x-y} = (\frac{1}{5})^{-2}, \\ 7^{9x-y} = 7^{\frac{1}{2}}; \end{cases} $
Приравняем показатели степеней: $ \begin{cases} 4x-y = -2, \\ 9x-y = \frac{1}{2}; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(9x-y) - (4x-y) = \frac{1}{2} - (-2)$
$5x = \frac{1}{2} + 2$
$5x = \frac{5}{2}$
$x = \frac{1}{2}$
Подставим значение $x=\frac{1}{2}$ в первое уравнение системы:
$4(\frac{1}{2}) - y = -2$
$2 - y = -2$
$-y = -4$
$y = 4$
Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.

Решите неравенства (466—467).

466. а) $(\frac{1}{3})^x \ge 27;$

б) $(\sqrt{6})^x \le \frac{1}{36};$

в) $0,2^x \le \frac{1}{25};$

г) $1,5^x < 2,25.$

a) $(\frac{1}{3})^x \geq 27$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Левая часть: $(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Правая часть: $27 = 3^3$.

Неравенство принимает вид:

$3^{-x} \geq 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x \geq 3$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \leq -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

б) $(\sqrt{6})^x \leq \frac{1}{36}$

Приведем обе части неравенства к основанию 6. Левая часть: $(\sqrt{6})^x = (6^{\frac{1}{2}})^x = 6^{\frac{x}{2}}$. Правая часть: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.

Неравенство принимает вид:

$6^{\frac{x}{2}} \leq 6^{-2}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{x}{2} \leq -2$

Умножим обе части на 2:

$x \leq -4$

Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

в) $0,2^x \leq \frac{1}{25}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Преобразуем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Правая часть: $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{5})^x \leq (\frac{1}{5})^2$

Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq 2$

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

г) $1,5^x < 2,25$

Приведем правую часть неравенства к основанию 1,5. Так как $2,25 = 1,5^2$, неравенство можно записать как:

$1,5^x < 1,5^2$

Так как основание степени $1,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

467. a) $4^{5-2x} \leq 0.25;$

б) $0.3^{7+4x} > 0.027;$

в) $0.4^{2x+1} > 0.16;$

г) $3^{2-x} < 27.$

а) Чтобы решить показательное неравенство $4^{5-2x} \le 0,25$, приведем обе его части к одному основанию.
Правая часть: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $4^{5-2x} \le 4^{-1}$.
Основание степени $a=4$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
Получаем линейное неравенство:
$5 - 2x \le -1$
Перенесем 5 в правую часть:
$-2x \le -1 - 5$
$-2x \le -6$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{-6}{-2}$
$x \ge 3$
Решением является числовой промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,3^{7+4x} > 0,027$.
Приведем обе части к основанию 0,3.
Правая часть: $0,027 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,3^3$.
Неравенство принимает вид: $0,3^{7+4x} > 0,3^3$.
Основание степени $a=0,3$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y=0,3^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем линейное неравенство:
$7 + 4x < 3$
Перенесем 7 в правую часть:
$4x < 3 - 7$
$4x < -4$
Разделим обе части на 4:
$x < -1$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

в) Решим неравенство $0,4^{2x+1} > 0,16$.
Приведем обе части к основанию 0,4.
Правая часть: $0,16 = 0,4^2$.
Неравенство принимает вид: $0,4^{2x+1} > 0,4^2$.
Основание степени $a=0,4$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y=0,4^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем линейное неравенство:
$2x + 1 < 2$
Перенесем 1 в правую часть:
$2x < 2 - 1$
$2x < 1$
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{1}{2}$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, \frac{1}{2})$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$.

г) Решим неравенство $3^{2-x} < 27$.
Приведем обе части к основанию 3.
Правая часть: $27 = 3^3$.
Неравенство принимает вид: $3^{2-x} < 3^3$.
Основание степени $a=3$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется.
Получаем линейное неравенство:
$2 - x < 3$
Перенесем 2 в правую часть:
$-x < 3 - 2$
$-x < 1$
Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -1$
Решением является числовой промежуток $(-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.