Страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

445. Перечислите свойства функции и постройте ее график:

a) $y = 4^x$;

б) $y = 0,2^x$;

в) $y = 0,7^x$;

г) $y = 2,5^x$.

а) $y = 4^x$

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Точка пересечения с осью Oу: $(0; 1)$, так как $4^0 = 1$.
• Точек пересечения с осью Oх нет, так как $4^x > 0$ для любого $x$.
• Функция положительна на всей области определения.
• Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
• Функция является строго возрастающей на всей области определения, так как основание $a=4 > 1$.

Для построения графика составим таблицу значений:

График функции $y = 4^x$:

Ответ: Перечислены свойства функции, построен ее график.

б) $y = 0.2^x$

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция является функцией общего вида.
• Точка пересечения с осью Oу: $(0; 1)$, так как $0.2^0 = 1$.
• Точек пересечения с осью Oх нет, так как $0.2^x > 0$ для любого $x$.
• Функция положительна на всей области определения.
• Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
• Функция является строго убывающей на всей области определения, так как основание $a=0.2 = 1/5$, и $0 < a < 1$.

Для построения графика составим таблицу значений:

График функции $y = 0.2^x$:

Ответ: Перечислены свойства функции, построен ее график.

в) $y = 0.7^x$

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция является функцией общего вида.
• Точка пересечения с осью Oу: $(0; 1)$, так как $0.7^0 = 1$.
• Точек пересечения с осью Oх нет, так как $0.7^x > 0$ для любого $x$.
• Функция положительна на всей области определения.
• Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
• Функция является строго убывающей на всей области определения, так как основание $a=0.7$, и $0 < a < 1$.

Для построения графика составим таблицу значений:

График функции $y = 0.7^x$:

Ответ: Перечислены свойства функции, построен ее график.

г) $y = 2.5^x$

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция является функцией общего вида.
• Точка пересечения с осью Oу: $(0; 1)$, так как $2.5^0 = 1$.
• Точек пересечения с осью Oх нет, так как $2.5^x > 0$ для любого $x$.
• Функция положительна на всей области определения.
• Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
• Функция является строго возрастающей на всей области определения, так как основание $a=2.5 > 1$.

Для построения графика составим таблицу значений:

График функции $y = 2.5^x$:

Ответ: Перечислены свойства функции, построен ее график.

446. Найдите область значений функции:

а) $y = -2^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$;

в) $y = -\left(\frac{1}{4}\right)^x$;

г) $y = 5^x - 2$.

а) Для нахождения области значений функции $y = -2^x$ сначала рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = 2^x$. Область значений функции $f(x) = 2^x$ - это все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $2^x > 0$. Функция $y = -2^x$ получается из $f(x)$ умножением на -1. Умножим обе части неравенства $2^x > 0$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2^x < 0$. Таким образом, значения функции $y$ всегда отрицательны. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

б) Для нахождения области значений функции $y = (\frac{1}{3})^x + 1$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{3})^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$, так как любое положительное число в любой действительной степени является положительным числом. Следовательно, $(\frac{1}{3})^x > 0$ для любого $x$. Функция $y$ получается из $f(x)$ прибавлением 1. Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $(\frac{1}{3})^x + 1 > 0 + 1$, что равносильно $y > 1$. Значит, все значения функции $y$ строго больше 1. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

в) Для нахождения области значений функции $y = -(\frac{1}{4})^x$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{4})^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$. Это значит, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $(\frac{1}{4})^x > 0$. Функция $y = -(\frac{1}{4})^x$ получается из $f(x)$ умножением на -1. Умножим обе части неравенства $(\frac{1}{4})^x > 0$ на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-(\frac{1}{4})^x < 0$. Таким образом, значения функции $y$ всегда отрицательны. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

г) Для нахождения области значений функции $y = 5^x - 2$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = 5^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$, то есть $5^x > 0$ для любого $x$. Функция $y$ получается из $f(x)$ вычитанием 2. Вычтем 2 из обеих частей неравенства: $5^x - 2 > 0 - 2$, что равносильно $y > -2$. Значит, все значения функции $y$ строго больше -2. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-2; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

447. Сравните числа:

а) $\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt{5}}{2}}$ и 1;

б) $3^{-\sqrt{12}}$ и $\left(\frac{1}{3}\right)^{2,8}$;

в) $2,5^{-\sqrt{2}}$ и 1;

г) $0,3^{\frac{\sqrt{5}}{6}}$ и $0,3^{\frac{1}{3}}$.

а) Для сравнения чисел $ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} $ и 1, рассмотрим основание и показатель степени.
Основание степени $ a = \frac{4}{7} $ меньше единицы ($0 < a < 1$).
Показатель степени $ x = -\frac{\sqrt{5}}{2} $ является отрицательным числом.
Используя свойство степени $ a^{-n} = (\frac{1}{a})^n $, преобразуем выражение:
$ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} = (\frac{7}{4})^{\frac{\sqrt{5}}{2}} $.
Теперь нужно сравнить $ (\frac{7}{4})^{\frac{\sqrt{5}}{2}} $ и 1.
Новое основание $ \frac{7}{4} $ больше единицы. Новый показатель $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ положителен.
Число, большее единицы, в положительной степени всегда больше единицы.
Следовательно, $ (\frac{7}{4})^{\frac{\sqrt{5}}{2}} > 1 $, а значит и $ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} > 1 $.
Альтернативный способ: представим 1 как $ (\frac{4}{7})^0 $. Сравниваем $ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} $ и $ (\frac{4}{7})^0 $. Так как функция $ y = (\frac{4}{7})^x $ убывающая (основание меньше 1), а $ -\frac{\sqrt{5}}{2} < 0 $, то $ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} > (\frac{4}{7})^0 $.
Ответ: $ (\frac{4}{7})^{-\frac{\sqrt{5}}{2}} > 1 $.

б) Для сравнения чисел $ 3^{-\sqrt{12}} $ и $ (\frac{1}{3})^{2,8} $, приведем их к одному основанию.
Преобразуем второе число: $ (\frac{1}{3})^{2,8} = (3^{-1})^{2,8} = 3^{-2,8} $.
Теперь задача сводится к сравнению $ 3^{-\sqrt{12}} $ и $ 3^{-2,8} $.
Основание $ a=3 $ больше единицы, поэтому показательная функция $ y=3^x $ является возрастающей. Это значит, что большему показателю соответствует большее значение степени.
Сравним показатели $ -\sqrt{12} $ и $ -2,8 $. Для этого сначала сравним положительные числа $ \sqrt{12} $ и $ 2,8 $, возведя их в квадрат:
$ (\sqrt{12})^2 = 12 $
$ (2,8)^2 = 7,84 $
Так как $ 12 > 7,84 $, то $ \sqrt{12} > 2,8 $.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $ -\sqrt{12} < -2,8 $.
Поскольку функция возрастающая, из $ -\sqrt{12} < -2,8 $ следует, что $ 3^{-\sqrt{12}} < 3^{-2,8} $.
Ответ: $ 3^{-\sqrt{12}} < (\frac{1}{3})^{2,8} $.

в) Для сравнения чисел $ 2,5^{-\sqrt{2}} $ и 1, рассмотрим основание степени $ a = 2,5 $. Оно больше единицы ($a > 1$).
Показательная функция $ y = 2,5^x $ является возрастающей.
Представим 1 как степень с основанием 2,5: $ 1 = 2,5^0 $.
Теперь сравним $ 2,5^{-\sqrt{2}} $ и $ 2,5^0 $.
Сравним показатели степеней: $ -\sqrt{2} $ и $ 0 $.
Так как $ \sqrt{2} > 0 $, то $ -\sqrt{2} < 0 $.
Поскольку функция возрастающая и $ -\sqrt{2} < 0 $, то $ 2,5^{-\sqrt{2}} < 2,5^0 $.
Следовательно, $ 2,5^{-\sqrt{2}} < 1 $.
Ответ: $ 2,5^{-\sqrt{2}} < 1 $.

г) Для сравнения чисел $ 0,3^{\frac{\sqrt{5}}{6}} $ и $ 0,3^{\frac{1}{3}} $, обратим внимание на основание $ a = 0,3 $. Оно меньше единицы ($0 < a < 1$).
Показательная функция $ y = 0,3^x $ является убывающей. Это значит, что большему показателю соответствует меньшее значение степени.
Сравним показатели степеней: $ \frac{\sqrt{5}}{6} $ и $ \frac{1}{3} $.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $.
Теперь сравним дроби $ \frac{\sqrt{5}}{6} $ и $ \frac{2}{6} $, что равносильно сравнению их числителей $ \sqrt{5} $ и $ 2 $.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$ (\sqrt{5})^2 = 5 $
$ 2^2 = 4 $
Так как $ 5 > 4 $, то $ \sqrt{5} > 2 $.
Следовательно, $ \frac{\sqrt{5}}{6} > \frac{2}{6} $, то есть $ \frac{\sqrt{5}}{6} > \frac{1}{3} $.
Поскольку функция убывающая, из $ \frac{\sqrt{5}}{6} > \frac{1}{3} $ следует, что $ 0,3^{\frac{\sqrt{5}}{6}} < 0,3^{\frac{1}{3}} $.
Ответ: $ 0,3^{\frac{\sqrt{5}}{6}} < 0,3^{\frac{1}{3}} $.