Номер 446, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 446, страница 227.

Условие.

446. Найдите область значений функции:

а) $y = -2^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$;

в) $y = -\left(\frac{1}{4}\right)^x$;

г) $y = 5^x - 2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения области значений функции $y = -2^x$ сначала рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = 2^x$. Область значений функции $f(x) = 2^x$ - это все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $2^x > 0$. Функция $y = -2^x$ получается из $f(x)$ умножением на -1. Умножим обе части неравенства $2^x > 0$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2^x < 0$. Таким образом, значения функции $y$ всегда отрицательны. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

б) Для нахождения области значений функции $y = (\frac{1}{3})^x + 1$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{3})^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$, так как любое положительное число в любой действительной степени является положительным числом. Следовательно, $(\frac{1}{3})^x > 0$ для любого $x$. Функция $y$ получается из $f(x)$ прибавлением 1. Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $(\frac{1}{3})^x + 1 > 0 + 1$, что равносильно $y > 1$. Значит, все значения функции $y$ строго больше 1. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

в) Для нахождения области значений функции $y = -(\frac{1}{4})^x$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{4})^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$. Это значит, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $(\frac{1}{4})^x > 0$. Функция $y = -(\frac{1}{4})^x$ получается из $f(x)$ умножением на -1. Умножим обе части неравенства $(\frac{1}{4})^x > 0$ на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-(\frac{1}{4})^x < 0$. Таким образом, значения функции $y$ всегда отрицательны. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

г) Для нахождения области значений функции $y = 5^x - 2$ рассмотрим базовую показательную функцию $f(x) = 5^x$. Область значений этой функции $E(f) = (0; +\infty)$, то есть $5^x > 0$ для любого $x$. Функция $y$ получается из $f(x)$ вычитанием 2. Вычтем 2 из обеих частей неравенства: $5^x - 2 > 0 - 2$, что равносильно $y > -2$. Значит, все значения функции $y$ строго больше -2. Область значений функции $E(y)$ - это интервал $(-2; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.