Номер 439, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 439, страница 223.

Условие.

439. — Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

a) $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^5 \cdot ax^3}$

б) $\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}$

в) $\sqrt[7]{b^3} \cdot \sqrt[4]{b}$

г) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{27 \sqrt[3]{x}}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\frac{1}{8}\sqrt[7]{2^5 \cdot ax^3}$

Сначала представим множитель $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Теперь внесем этот множитель под знак корня седьмой степени. Для этого необходимо возвести $2^{-3}$ в седьмую степень: $2^{-3} = \sqrt[7]{(2^{-3})^7} = \sqrt[7]{2^{-21}}$.
Исходное выражение принимает вид: $\sqrt[7]{2^{-21}} \cdot \sqrt[7]{2^5 a x^3}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под одним корнем: $\sqrt[7]{2^{-21} \cdot 2^5 \cdot a \cdot x^3}$.
Упростим произведение степеней с основанием 2, сложив их показатели: $2^{-21+5} = 2^{-16}$.
Получаем: $\sqrt[7]{2^{-16}ax^3}$.
Наконец, преобразуем корень в степень с рациональным показателем по формуле $\sqrt[n]{A} = A^{\frac{1}{n}}$: $(2^{-16}ax^3)^{\frac{1}{7}}$.

Ответ: $(2^{-16}ax^3)^{\frac{1}{7}}$

б) $\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}$

Начнем с преобразования внутреннего корня в степень с рациональным показателем: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
Подставим результат в исходное выражение: $\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}}}$.
Упростим выражение под кубическим корнем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{2 + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{9}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[3]{a^{\frac{9}{4}}}$.
Преобразуем оставшийся корень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$: $(a^{\frac{9}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{12}}$.
Сократим дробь в показателе: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
В результате получаем: $a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

в) $\sqrt[7]{b^3} \cdot \sqrt[4]{b}$

Представим каждый из корней в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[7]{b^3} = b^{\frac{3}{7}}$ и $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$.
Теперь перемножим полученные степени: $b^{\frac{3}{7}} \cdot b^{\frac{1}{4}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^{\frac{3}{7} + \frac{1}{4}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 28 и сложим их: $\frac{3}{7} + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{28} + \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{12+7}{28} = \frac{19}{28}$.
Итоговое выражение: $b^{\frac{19}{28}}$.

Ответ: $b^{\frac{19}{28}}$

г) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{27 \sqrt[3]{x}}$

Представим числовые коэффициенты как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.
Выражение примет вид: $3^{-1} \cdot \sqrt[4]{3^3 \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Внесем множитель $3^{-1}$ под знак корня четвертой степени, для этого возведем его в 4-ю степень: $3^{-1} = \sqrt[4]{(3^{-1})^4} = \sqrt[4]{3^{-4}}$.
Объединим все под одним корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{3^{-4} \cdot 3^3 \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Упростим произведение степеней тройки: $3^{-4} \cdot 3^3 = 3^{-4+3} = 3^{-1}$.
Выражение стало: $\sqrt[4]{3^{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Теперь внесем $3^{-1}$ под знак кубического корня: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{(3^{-1})^3 \cdot x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{-3}x}}$.
Используя свойство вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем: $\sqrt[4 \cdot 3]{3^{-3}x} = \sqrt[12]{3^{-3}x}$.
Представим результат в виде степени с рациональным показателем: $(3^{-3}x)^{\frac{1}{12}}$.
Учитывая, что $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$, выражение можно записать как $(\frac{x}{27})^{\frac{1}{12}}$.

Ответ: $(\frac{x}{27})^{\frac{1}{12}}$