Номер 444, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 444, страница 223.
№444 (с. 223)
Условие. №444 (с. 223)
скриншот условия

444. При каких значениях переменной верно равенство:
a) $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$
б) $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$
в) $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$
г) $(a^{0.7})^{\frac{1}{7}} = -a?$
Решение 1. №444 (с. 223)

Решение 3. №444 (с. 223)

Решение 4. №444 (с. 223)

Решение 5. №444 (с. 223)
а) Рассматриваем равенство $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$.
Степень с дробным показателем $a^{\frac{1}{6}}$ (арифметический корень шестой степени из $a$) определена только для неотрицательных значений переменной $a$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения: $a \ge 0$.
При $a \ge 0$ мы можем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.
Применяя это свойство, получаем: $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a^{\frac{1}{6} \cdot 6} = a^1 = a$.
В результате мы приходим к тождеству $a = a$, которое является верным для всех значений $a$ из области допустимых значений.
Следовательно, исходное равенство верно при всех $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.
б) Рассматриваем равенство $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$.
Выражение $a^4$ является неотрицательным при любом действительном значении $a$, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна ($a^4 \ge 0$). Поэтому левая часть равенства определена для всех $a \in \mathbb{R}$.
По определению арифметического корня четной степени, $(x^n)^{\frac{1}{n}} = |x|$ для любого четного натурального $n$. В нашем случае $n=4$, следовательно:
$(a^4)^{\frac{1}{4}} = |a|$.
Таким образом, исходное уравнение сводится к виду $|a| = -a$.
По определению модуля числа, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда число $a$ является неположительным, то есть $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.
в) Рассматриваем равенство $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В правой части равенства переменная $a$ находится в знаменателе, поэтому $|a| \ne 0$, что эквивалентно $a \ne 0$.
Преобразуем левую часть равенства. Так как показатель степени 8 является четным числом, то, как и в предыдущем пункте, $(a^8)^{\frac{1}{8}} = |a|$.
Теперь уравнение принимает вид: $|a| = \frac{1}{|a|}$.
Так как $a \ne 0$, то $|a| > 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $|a|$, не опасаясь деления на ноль или изменения знака неравенства:
$|a| \cdot |a| = 1$
$|a|^2 = 1$
Поскольку $|a|^2 = a^2$, получаем уравнение $a^2 = 1$.
Это уравнение имеет два корня: $a = 1$ и $a = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($a \ne 0$).
Ответ: $a = 1, a = -1$.
г) Рассматриваем равенство $(a^{0,7})^{1\frac{3}{7}} = -a$.
Для удобства преобразуем показатели степеней в обыкновенные дроби:
$0,7 = \frac{7}{10}$
$1\frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
Теперь уравнение можно записать так: $(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = -a$.
Выражение $a^{\frac{7}{10}}$ (что то же самое, что и $(\sqrt[10]{a})^7$) определено только для $a \ge 0$, так как в знаменателе показателя степени стоит четное число 10.
На этой области определения ($a \ge 0$) мы можем применить свойство возведения степени в степень:
$(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = a^{\frac{7}{10} \cdot \frac{10}{7}} = a^1 = a$.
Таким образом, исходное уравнение сводится к простому уравнению $a = -a$.
Перенесем все члены в одну сторону: $a + a = 0$, или $2a = 0$.
Единственным решением этого уравнения является $a = 0$.
Это значение удовлетворяет нашей области определения $a \ge 0$.
Ответ: $a = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 444 расположенного на странице 223 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №444 (с. 223), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.