Номер 444, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 444, страница 223.

Условие.

444. При каких значениях переменной верно равенство:

a) $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$

б) $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$

в) $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$

г) $(a^{0.7})^{\frac{1}{7}} = -a?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассматриваем равенство $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$.

Степень с дробным показателем $a^{\frac{1}{6}}$ (арифметический корень шестой степени из $a$) определена только для неотрицательных значений переменной $a$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения: $a \ge 0$.

При $a \ge 0$ мы можем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.

Применяя это свойство, получаем: $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a^{\frac{1}{6} \cdot 6} = a^1 = a$.

В результате мы приходим к тождеству $a = a$, которое является верным для всех значений $a$ из области допустимых значений.

Следовательно, исходное равенство верно при всех $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

б) Рассматриваем равенство $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$.

Выражение $a^4$ является неотрицательным при любом действительном значении $a$, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна ($a^4 \ge 0$). Поэтому левая часть равенства определена для всех $a \in \mathbb{R}$.

По определению арифметического корня четной степени, $(x^n)^{\frac{1}{n}} = |x|$ для любого четного натурального $n$. В нашем случае $n=4$, следовательно:

$(a^4)^{\frac{1}{4}} = |a|$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к виду $|a| = -a$.

По определению модуля числа, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда число $a$ является неположительным, то есть $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

в) Рассматриваем равенство $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В правой части равенства переменная $a$ находится в знаменателе, поэтому $|a| \ne 0$, что эквивалентно $a \ne 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Так как показатель степени 8 является четным числом, то, как и в предыдущем пункте, $(a^8)^{\frac{1}{8}} = |a|$.

Теперь уравнение принимает вид: $|a| = \frac{1}{|a|}$.

Так как $a \ne 0$, то $|a| > 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $|a|$, не опасаясь деления на ноль или изменения знака неравенства:

$|a| \cdot |a| = 1$

$|a|^2 = 1$

Поскольку $|a|^2 = a^2$, получаем уравнение $a^2 = 1$.

Это уравнение имеет два корня: $a = 1$ и $a = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($a \ne 0$).

Ответ: $a = 1, a = -1$.

г) Рассматриваем равенство $(a^{0,7})^{1\frac{3}{7}} = -a$.

Для удобства преобразуем показатели степеней в обыкновенные дроби:

$0,7 = \frac{7}{10}$

$1\frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

Теперь уравнение можно записать так: $(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = -a$.

Выражение $a^{\frac{7}{10}}$ (что то же самое, что и $(\sqrt[10]{a})^7$) определено только для $a \ge 0$, так как в знаменателе показателя степени стоит четное число 10.

На этой области определения ($a \ge 0$) мы можем применить свойство возведения степени в степень:

$(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = a^{\frac{7}{10} \cdot \frac{10}{7}} = a^1 = a$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к простому уравнению $a = -a$.

Перенесем все члены в одну сторону: $a + a = 0$, или $2a = 0$.

Единственным решением этого уравнения является $a = 0$.

Это значение удовлетворяет нашей области определения $a \ge 0$.

Ответ: $a = 0$.