Номер 448, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 448, страница 228.

Условие.

448.— Вычислите:

a) $((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};

б) $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 9^{1+\sqrt{3}};

в) $8^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}};

г) $(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применив это свойство, мы перемножаем показатели степеней:

$((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

Так как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, выражение упрощается до:

$(\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2

б) $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 9^{1+\sqrt{3}}$

Для решения приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$. Подставим это в выражение:

$3^{1-2\sqrt{3}} \cdot (3^2)^{1+\sqrt{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для второго множителя: $(3^2)^{1+\sqrt{3}} = 3^{2 \cdot (1+\sqrt{3})} = 3^{2+2\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение можно записать как $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 3^{2+2\sqrt{3}}$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(1-2\sqrt{3}) + (2+2\sqrt{3})} = 3^{1-2\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

в) $8^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}}$

Приведем степени к одному основанию. Известно, что $8 = 2^3$. Заменим 8 на $2^3$ в выражении:

$(2^3)^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}}$

Упростим первый член, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(2^3)^{\sqrt{2}} = 2^{3 \cdot \sqrt{2}} = 2^{3\sqrt{2}}$.

Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^{3\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}} = 2^{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = 2^0 = 1$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Ответ: 1

г) $(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}} = 3^{\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}}$

Упростим показатель степени, используя свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b} = \sqrt[k]{a \cdot b}$:

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Подставим полученное значение показателя степени обратно в выражение:

$3^2 = 9$.

Ответ: 9