Страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

448.— Вычислите:

a) $((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};

б) $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 9^{1+\sqrt{3}};

в) $8^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}};

г) $(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}}.$

а) $((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применив это свойство, мы перемножаем показатели степеней:

$((\sqrt{2})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

Так как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, выражение упрощается до:

$(\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2

б) $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 9^{1+\sqrt{3}}$

Для решения приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$. Подставим это в выражение:

$3^{1-2\sqrt{3}} \cdot (3^2)^{1+\sqrt{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для второго множителя: $(3^2)^{1+\sqrt{3}} = 3^{2 \cdot (1+\sqrt{3})} = 3^{2+2\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение можно записать как $3^{1-2\sqrt{3}} \cdot 3^{2+2\sqrt{3}}$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(1-2\sqrt{3}) + (2+2\sqrt{3})} = 3^{1-2\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

в) $8^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}}$

Приведем степени к одному основанию. Известно, что $8 = 2^3$. Заменим 8 на $2^3$ в выражении:

$(2^3)^{\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}}$

Упростим первый член, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(2^3)^{\sqrt{2}} = 2^{3 \cdot \sqrt{2}} = 2^{3\sqrt{2}}$.

Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^{3\sqrt{2}} : 2^{3\sqrt{2}} = 2^{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = 2^0 = 1$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Ответ: 1

г) $(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{\sqrt[5]{8}})^{\sqrt[5]{4}} = 3^{\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}}$

Упростим показатель степени, используя свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b} = \sqrt[k]{a \cdot b}$:

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Подставим полученное значение показателя степени обратно в выражение:

$3^2 = 9$.

Ответ: 9

Упростите выражения (449–450).

449. а) $a^{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1}$;

б) $x^{\pi} \cdot \sqrt[4]{x^2 : x^{4\pi}};

в) $(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}};

г) $y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : \sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}}.

а) Чтобы упростить выражение $a^{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.
Тогда второй множитель примет вид: $\left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1} = (a^{-1})^{\sqrt{2}-1}$.
2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-1})^{\sqrt{2}-1} = a^{-1 \cdot (\sqrt{2}-1)} = a^{-\sqrt{2}+1} = a^{1-\sqrt{2}}$.
3. Теперь исходное выражение выглядит так: $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$.
4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})} = a^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

б) Упростим выражение $x^{\pi} \cdot \sqrt[4]{x^2} : x^{4\pi}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$.
2. Подставим полученное выражение в исходное. Знак деления ":" заменим на соответствующее действие с показателями степеней:
$x^{\pi} \cdot x^{\frac{1}{2}} : x^{4\pi} = x^{\pi + \frac{1}{2} - 4\pi}$.
3. Упростим показатель степени:
$\pi + \frac{1}{2} - 4\pi = (\pi - 4\pi) + \frac{1}{2} = -3\pi + \frac{1}{2}$.
Таким образом, выражение равно $x^{\frac{1}{2} - 3\pi}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2} - 3\pi}$.

в) Упростим выражение $(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}}$.
1. Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$.
2. Упростим показатель степени:
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Следовательно, выражение равно $a^5$.
Ответ: $a^5$.

г) Упростим выражение $y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : \sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}}$.
1. Преобразуем корень в степень с дробным показателем: $\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}} = y^{\frac{3\sqrt{2}}{3}} = y^{\sqrt{2}}$.
2. Подставим полученное выражение в исходное:
$y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : y^{\sqrt{2}}$.
3. Применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $y^m \cdot y^n : y^p = y^{m+n-p}$.
$y^{\sqrt{2} + 1,3 - \sqrt{2}}$.
4. Упростим показатель степени:
$\sqrt{2} + 1,3 - \sqrt{2} = 1,3$.
Таким образом, получаем $y^{1,3}$.
Ответ: $y^{1,3}$.

450. a) $ \frac{a^2\sqrt{2} - b^2\sqrt{3}}{(a\sqrt{2} - b\sqrt{3})^2} + 1; $

б) $ \frac{(a^{2\sqrt{3}} - 1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}})}{a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}}}; $

В) $ \frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}}; $

г) $ \sqrt{(x^{\pi} + y^{\pi})^2 - \left(\frac{1}{4^{\pi}} xy\right)^{\pi}}. $

а) Исходное выражение: $ \frac{a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})^2} + 1 $.
Рассмотрим числитель дроби $ a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}} $. Его можно представить как разность квадратов, используя свойство степеней $ (x^m)^n = x^{mn} $:
$ a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{2}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $:
$ (a^{\sqrt{2}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2 = (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}})}{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})^2} + 1 $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}) $ (при условии, что $ a^{\sqrt{2}} \neq b^{\sqrt{3}} $):
$ \frac{a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} + 1 $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} + \frac{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} = \frac{(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}) + (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} $.
Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}} + a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}} = 2a^{\sqrt{2}} $.
Таким образом, получаем окончательный результат.
Ответ: $ \frac{2a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{(a^{2\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}})}{a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $ a^{\sqrt{3}} $:
$ a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}}(a^{3\sqrt{3}} - 1) $.
Выражение $ a^{3\sqrt{3}} - 1 $ является разностью кубов, так как $ a^{3\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{3}})^3 $.
По формуле разности кубов $ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) $, имеем:
$ (a^{\sqrt{3}})^3 - 1^3 = (a^{\sqrt{3}}-1)((a^{\sqrt{3}})^2 + a^{\sqrt{3}}\cdot 1 + 1^2) = (a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Значит, знаменатель равен: $ a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Теперь преобразуем числитель. Во втором множителе $ (a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}}) $ вынесем $ a^{\sqrt{3}} $ за скобки:
$ a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} + 1 + a^{2\sqrt{3}}) = a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Тогда весь числитель равен: $ (a^{2\sqrt{3}}-1)a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{(a^{2\sqrt{3}}-1)a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1)}{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1)} $.
Сокращаем на общие множители $ a^{\sqrt{3}} $ и $ (a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $:
$ \frac{a^{2\sqrt{3}}-1}{a^{\sqrt{3}}-1} $.
Числитель $ a^{2\sqrt{3}}-1 $ является разностью квадратов: $ (a^{\sqrt{3}})^2 - 1^2 = (a^{\sqrt{3}}-1)(a^{\sqrt{3}}+1) $.
Получаем: $ \frac{(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{\sqrt{3}}+1)}{a^{\sqrt{3}}-1} $.
Сокращаем на $ (a^{\sqrt{3}}-1) $ и получаем результат.
Ответ: $ a^{\sqrt{3}}+1 $.

в) Исходное выражение: $ \frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}} $.
Это выражение построено на основе формулы разности кубов. Введем замены для наглядности:
Пусть $ A = a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} $ и $ B = b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.
Тогда числитель можно записать как:
$ a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}} = a^{3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}} = (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^3 - (b^{\frac{\sqrt{7}}{3}})^3 = A^3 - B^3 $.
А знаменатель:
$ a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}} = (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^2 + (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})(b^{\frac{\sqrt{7}}{3}}) + (b^{\frac{\sqrt{7}}{3}})^2 = A^2 + AB + B^2 $.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} $.
Используя формулу разности кубов $ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) $, получаем:
$ \frac{(A-B)(A^2+AB+B^2)}{A^2+AB+B^2} $.
Сокращаем дробь на $ (A^2+AB+B^2) $, так как этот множитель не равен нулю (при $ a, b > 0 $).
Остается $ A-B $.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ A - B = a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.
Ответ: $ a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.

г) Исходное выражение: $ \sqrt{(x^\pi + y^\pi)^2 - (4^{\frac{1}{\pi}} xy)^\pi} $.
Упростим второе слагаемое под корнем, используя свойство степеней $ (abc)^n = a^n b^n c^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:
$ (4^{\frac{1}{\pi}} xy)^\pi = (4^{\frac{1}{\pi}})^\pi \cdot x^\pi \cdot y^\pi = 4^{\frac{1}{\pi} \cdot \pi} x^\pi y^\pi = 4^1 x^\pi y^\pi = 4x^\pi y^\pi $.
Теперь подкоренное выражение выглядит так:
$ (x^\pi + y^\pi)^2 - 4x^\pi y^\pi $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ ((x^\pi)^2 + 2x^\pi y^\pi + (y^\pi)^2) - 4x^\pi y^\pi $.
Приведем подобные слагаемые:
$ x^{2\pi} + 2x^\pi y^\pi - 4x^\pi y^\pi + y^{2\pi} = x^{2\pi} - 2x^\pi y^\pi + y^{2\pi} $.
Это выражение является полным квадратом разности по формуле $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $:
$ (x^\pi - y^\pi)^2 $.
Подставим это обратно под знак корня:
$ \sqrt{(x^\pi - y^\pi)^2} $.
Квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения ($ \sqrt{A^2} = |A| $).
Следовательно, результат равен модулю разности.
Ответ: $ |x^\pi - y^\pi| $.

451.— Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения:

а) $10^{1.41}$ и $10^{1.42}$;

б) $10^{1.414}$ и $10^{1.415}$;

в) $10^{2.23}$ и $10^{2.24}$;

г) $10^{2.236}$ и $10^{2.237}$.

Для выполнения данного задания воспользуемся калькулятором и округлим полученные результаты до одной цифры после запятой (с точностью до 0,1).

а) Вычислим значения $10^{1,41}$ и $10^{1,42}$.
$10^{1,41} \approx 25,70395...$
Округляя до десятых, получаем $25,7$.
$10^{1,42} \approx 26,30267...$
Округляя до десятых, получаем $26,3$.
Ответ: 25,7 и 26,3.

б) Вычислим значения $10^{1,414}$ и $10^{1,415}$.
$10^{1,414} \approx 25,94178...$
Округляя до десятых, получаем $25,9$.
$10^{1,415} \approx 26,00164...$
Округляя до десятых, получаем $26,0$.
Ответ: 25,9 и 26,0.

в) Вычислим значения $10^{2,23}$ и $10^{2,24}$.
$10^{2,23} \approx 169,82436...$
Округляя до десятых, получаем $169,8$.
$10^{2,24} \approx 173,78008...$
Округляя до десятых, получаем $173,8$.
Ответ: 169,8 и 173,8.

г) Вычислим значения $10^{2,236}$ и $10^{2,237}$.
$10^{2,236} \approx 172,18686...$
Округляя до десятых, получаем $172,2$.
$10^{2,237} \approx 172,58376...$
Округляя до десятых, получаем $172,6$.
Ответ: 172,2 и 172,6.

452. - Пользуясь полученными в задаче 451 результатами, найдите значения $10^{\\sqrt{2}}$ и $10^{\\sqrt{5}}$ с точностью до 0,2.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться результатами задачи 451. Предположительно, в ней были найдены рациональные приближения для иррациональных показателей степени $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$. Чтобы найти значения выражений с точностью до 0,2, мы должны определить для каждого из них такой интервал $(a, b)$, что $a < \text{искомое значение} < b$ и разность $b-a \le 0,2$.

$10^{\sqrt{2}}$

Допустим, из задачи 451 нам известно неравенство для $\sqrt{2}$:

$1.414 < \sqrt{2} < 1.415$

Данное неравенство является верным, так как при возведении в квадрат получаем $1.414^2 = 1.999396 < 2$ и $1.415^2 = 2.002225 > 2$.

Поскольку показательная функция $y=10^x$ является строго возрастающей, из этого следует, что:

$10^{1.414} < 10^{\sqrt{2}} < 10^{1.415}$

Для вычисления границ этого интервала можно воспользоваться логарифмическими таблицами или калькулятором. Получаем:

$10^{1.414} \approx 25.94$

$10^{1.415} \approx 26.00$

Таким образом, значение $10^{\sqrt{2}}$ находится в интервале $(25.94, 26.00)$. Длина этого интервала равна $26.00 - 25.94 = 0.06$. Это значение меньше требуемой точности 0,2. Следовательно, любое число из этого интервала будет являться приближением с заданной точностью. Например, можно взять значение 26.0.

Проверим: $|26.0 - 10^{\sqrt{2}}| < 26.0 - 25.94 = 0.06 < 0.2$.

Ответ: $10^{\sqrt{2}} \approx 26.0$.

$10^{\sqrt{5}}$

Аналогично поступим для выражения $10^{\sqrt{5}}$. Поскольку значение этого выражения больше, чем предыдущего, для достижения той же абсолютной точности (0,2) нам потребуется более точное приближение для показателя степени $\sqrt{5}$.

Предположим, что из задачи 451 было получено неравенство:

$2.2360 < \sqrt{5} < 2.2365$

Это неравенство верно, так как $2.2360^2 = 4.999696 < 5$ и $2.2365^2 \approx 5.0019 > 5$.

Используя свойство монотонности показательной функции, получаем:

$10^{2.2360} < 10^{\sqrt{5}} < 10^{2.2365}$

Вычислим значения на границах полученного интервала:

$10^{2.2360} \approx 172.19$

$10^{2.2365} \approx 172.38$

Следовательно, значение $10^{\sqrt{5}}$ заключено в интервале $(172.19, 172.38)$. Длина этого интервала составляет $172.38 - 172.19 = 0.19$. Так как $0.19 < 0.2$, требуемая точность достигнута. В качестве приближенного значения можно взять, например, 172.3.

Проверим: $172.19 < 172.3 < 172.38$, и расстояние до любого конца интервала меньше 0.19, что удовлетворяет условию точности.

Ответ: $10^{\sqrt{5}} \approx 172.3$.

453.— Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая — убывающей на множестве R:

а) $y=(\sqrt{2})^x$, $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$;

б) $y=(\sqrt{5}-2)^x$, $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$;

в) $y=(\frac{\pi}{3})^x$, $y=(\frac{3}{\pi})^x$;

г) $y=(3-\sqrt{7})^x$, $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$.

Для определения характера монотонности показательной функции вида $y=a^x$ на множестве действительных чисел $R$ необходимо сравнить ее основание $a$ с единицей. Функция является возрастающей, если $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.

а)

Рассмотрим функцию $y=(\sqrt{2})^x$. Основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt{2} > \sqrt{1}=1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то его обратное значение удовлетворяет неравенству $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(\sqrt{2})^x$ — возрастающая, $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$ — убывающая.

б)

Рассмотрим функцию $y=(\sqrt{5}-2)^x$. Основание степени $a = \sqrt{5}-2$. Оценим значение основания. Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$. Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем $0 < \sqrt{5}-2 < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$. Эту функцию можно представить в виде $y=\left(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$. Так как $0 < \sqrt{5}-2 < 1$, то обратная величина $\frac{1}{\sqrt{5}-2} > 1$. Также можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $a = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$. Так как $\sqrt{5} > 2$, то $\sqrt{5}+2 > 4 > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(\sqrt{5}-2)^x$ — убывающая, $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$ — возрастающая.

в)

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{\pi}{3}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{\pi}{3}$. Так как значение числа $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 3$, и, следовательно, частное $\frac{\pi}{3} > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{3}{\pi}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{3}{\pi}$. Так как $\pi > 3$, то обратное отношение $0 < \frac{3}{\pi} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Ответ: $y=\left(\frac{\pi}{3}\right)^x$ — возрастающая, $y=\left(\frac{3}{\pi}\right)^x$ — убывающая.

г)

Рассмотрим функцию $y=(3-\sqrt{7})^x$. Основание степени $a = 3-\sqrt{7}$. Оценим значение основания. Известно, что $4 < 7 < 9$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$. Умножая на $-1$, получаем $-3 < -\sqrt{7} < -2$. Прибавляя 3 ко всем частям, имеем $0 < 3-\sqrt{7} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$. Эту функцию можно представить в виде $y=\left(\frac{1}{3-\sqrt{7}}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{3-\sqrt{7}}$. Так как $0 < 3-\sqrt{7} < 1$, то обратная величина $\frac{1}{3-\sqrt{7}} > 1$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $a = \frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$. Так как $\sqrt{7} > 2$, то $3+\sqrt{7} > 5$, и $\frac{3+\sqrt{7}}{2} > \frac{5}{2} > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(3-\sqrt{7})^x$ — убывающая, $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$ — возрастающая.

454.— Найдите область значений функции:

а) $y = 3^{x+1} - 3$;

б) $y = |2^x - 2|$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + 2$;

г) $y = 4^{|x|}$.

а) $y = 3^{x+1} - 3$

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = 3^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.

В нашем случае имеем функцию $y = 3^{x+1} - 3$. Выражение $3^{x+1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x+1$ может быть любым действительным числом. Таким образом, $3^{x+1} > 0$.

Далее из этого выражения вычитается 3. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:

$3^{x+1} - 3 > 0 - 3$

$y > -3$

Это означает, что область значений функции - все числа, большие -3.

Ответ: $E(y) = (-3; +\infty)$.

б) $y = |2^x - 2|$

Сначала найдем область значений функции под знаком модуля: $g(x) = 2^x - 2$.

Область значений функции $h(x) = 2^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Следовательно, для функции $g(x) = 2^x - 2$ область значений будет $(0-2; +\infty-2)$, то есть $(-2; +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = |g(x)| = |2^x - 2|$. Модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y \ge 0$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно будет равно 0, если выражение под модулем может быть равно 0. Проверим это:

$2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$.

При $x=1$ функция достигает своего минимума $y=0$. Поскольку выражение $2^x - 2$ может принимать сколь угодно большие положительные значения, то и $y$ может быть сколь угодно большим. Таким образом, область значений функции - все неотрицательные числа.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = (\frac{1}{2})^{x-1} + 2$

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{2})^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.

В нашем случае выражение $(\frac{1}{2})^{x-1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x-1$ пробегает все действительные значения.

$(\frac{1}{2})^{x-1} > 0$

Далее к этому выражению прибавляется 2. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:

$(\frac{1}{2})^{x-1} + 2 > 0 + 2$

$y > 2$

Это означает, что область значений функции - все числа, большие 2.

Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.

г) $y = 4^{|x|}$

Рассмотрим показатель степени этой функции: $|x|$. Область значений модуля - все неотрицательные числа, то есть $|x| \ge 0$.

Функция $f(t) = 4^t$ является возрастающей, так как основание $4 > 1$. Это означает, что меньшему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции.

Наименьшее значение показателя степени $|x|$ равно 0 (при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{min} = 4^0 = 1$.

Поскольку $|x|$ может принимать любые неотрицательные значения, то есть $|x| \in [0; +\infty)$, то и функция $y = 4^{|x|}$ будет принимать значения от $4^0$ до $+\infty$.

Таким образом, область значений функции - все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

455. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на $R$:

а) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\sin x}$;

б) $y = 5 + 3^{|\cos x|}$;

В) $y = 4^{\cos x}$;

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|\sin x|} - 2$.

а) Для функции $y = (\frac{1}{2})^{\sin x}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений тригонометрической функции $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Показательная функция $f(t) = a^t$ с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя степени $(\sin x)$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении показателя.
Наименьшее значение показателя $\sin x$ равно -1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Наибольшее значение показателя $\sin x$ равно 1. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $\frac{1}{2}$.

б) Для функции $y = 5 + 3^{|\cos x|}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $|\cos x|$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le |\cos x| \le 1$.
Показательная функция $f(t) = 3^t$ с основанием $a = 3$, где $a > 1$, является возрастающей. Это означает, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений $y$, нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3^{|\cos x|}$.
Наименьшее значение $|\cos x|$ равно 0. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = 5 + 3^0 = 5 + 1 = 6$.
Наибольшее значение $|\cos x|$ равно 1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = 5 + 3^1 = 5 + 3 = 8$.
Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее значение $6$.

в) Для функции $y = 4^{\cos x}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Показательная функция $f(t) = 4^t$ с основанием $a = 4$, где $a > 1$, является возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя степени $(\cos x)$, а наименьшее значение $y$ — при наименьшем значении показателя.
Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = 4^{1} = 4$.
Ответ: наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\frac{1}{4}$.

г) Для функции $y = (\frac{1}{3})^{|\sin x|} - 2$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $|\sin x|$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le |\sin x| \le 1$.
Показательная функция $f(t) = (\frac{1}{3})^t$ с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это означает, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений $y$, нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $(\frac{1}{3})^{|\sin x|}$.
Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $|\sin x|$, которое равно 0.
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{0} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $|\sin x|$, которое равно 1.
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^{1} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $-1$, наименьшее значение $-\frac{5}{3}$.

456. Найдите знак корня уравнения:

а) $(\frac{1}{6})^x = 10$;

б) $0,3^x = 0,1$;

в) $10^x = 4$;

г) $0,7^x = 5$.

Для того чтобы определить знак корня показательного уравнения вида $a^x = b$, необходимо проанализировать основание степени $a$ и значение $b$. Ключевым моментом является сравнение основания $a$ с единицей и значения $b$ также с единицей, поскольку любое положительное число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$).

Существуют два основных случая:

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что для получения значения $b > 1$, показатель степени $x$ должен быть больше нуля ($x > 0$). Для получения значения $0 < b < 1$, показатель степени $x$ должен быть меньше нуля ($x < 0$).
2. Если $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что для получения значения $b > 1$, показатель степени $x$ должен быть меньше нуля ($x < 0$). Для получения значения $0 < b < 1$, показатель степени $x$ должен быть больше нуля ($x > 0$).

Применим эти правила к каждому уравнению.

а) $(\frac{1}{6})^x = 10$

В данном уравнении основание $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < \frac{1}{6} < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 10$, что больше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть отрицательным. Следовательно, $x < 0$.
Ответ: корень отрицательный.

б) $0,3^x = 0,1$

Основание $a = 0,3$. Так как $0 < 0,3 < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 0,1$, что меньше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, меньшее 1, показатель степени должен быть положительным. Следовательно, $x > 0$.
Ответ: корень положительный.

в) $10^x = 4$

Основание $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция является возрастающей. Правая часть уравнения $b = 4$, что больше 1. Для возрастающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть положительным. Следовательно, $x > 0$.
Ответ: корень положительный.

г) $0,7^x = 5$

Основание $a = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 5$, что больше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть отрицательным. Следовательно, $x < 0$.
Ответ: корень отрицательный.