Страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

457.-

a) $3^x = 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3;$

в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1;$

г) $4^x = 5 - x.$

а) $3^x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде аналитически затруднительно. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения (все действительные числа).

Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей своей области определения.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение $y_1(x) = y_2(x)$ может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$.

При $x = 1$:

Левая часть: $3^1 = 3$.

Правая часть: $4 - 1 = 3$.

Поскольку $3 = 3$, то $x = 1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $1$.

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Для решения этого уравнения рассмотрим поведение функций, стоящих в левой и правой его частях.

Пусть $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = x + 3$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$. Эта функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Функция $g(x) = x + 3$ — линейная с положительным угловым коэффициентом, равным $1$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором.

При $x = -1$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Правая часть: $-1 + 3 = 2$.

Левая и правая части равны, значит $x = -1$ — корень уравнения.

В силу единственности решения, это и есть ответ.

Ответ: $-1$.

в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1$

Решим уравнение, проанализировав функции в обеих его частях.

Обозначим $y_1(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2(x) = x + 1$.

Функция $y_1(x)$ является показательной с основанием $\frac{1}{3}$, которое находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, $y_1(x)$ строго убывает на $R$.

Функция $y_2(x)$ является линейной, её угловой коэффициент равен $1$ ($>0$), поэтому $y_2(x)$ строго возрастает на $R$.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке, а значит, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем решение методом подбора.

При $x = 0$:

Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Правая часть: $0 + 1 = 1$.

Так как $1 = 1$, $x = 0$ — корень уравнения.

Это единственный корень уравнения.

Ответ: $0$.

г) $4^x = 5 - x$

Для решения уравнения воспользуемся свойствами монотонности функций.

Рассмотрим функции $f(x) = 4^x$ и $g(x) = 5 - x$.

Функция $f(x) = 4^x$ — показательная, основание $4 > 1$, значит, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $g(x) = 5 - x$ — линейная, угловой коэффициент равен $-1$ ($<0$), значит, она строго убывает на всей области определения.

Так как функция в левой части уравнения строго возрастает, а в правой — строго убывает, уравнение не может иметь более одного корня.

Найдем этот корень подбором.

Проверим $x = 1$:

Левая часть: $4^1 = 4$.

Правая часть: $5 - 1 = 4$.

Равенство выполняется, следовательно, $x = 1$ является корнем.

Поскольку корень единственный, мы нашли решение уравнения.

Ответ: $1$.

458. а) $3^{1-x} = 2x - 1;$

б) $4^x + 1 = 6 - x;$

В) $2^x - 2 = 1 - x;$

Г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}.$

а) $3^{1-x} = 2x - 1$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 3^{1-x}$ и $y_2(x) = 2x - 1$.

Функция $y_1(x) = 3^{1-x} = (\frac{1}{3})^{x-1}$ является показательной функцией с основанием меньше 1, следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения (все действительные числа).

Функция $y_2(x) = 2x - 1$ является линейной функцией с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она монотонно возрастает на всей своей области определения.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $3^{1-1} = 3^0 = 1$.

Правая часть: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

б) $4^x + 1 = 6 - x$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее анализировать функции: $4^x = 5 - x$.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 5 - x$.

Функция $y_1(x) = 4^x$ — показательная с основанием больше 1, следовательно, она монотонно возрастает на всей области определения.

Функция $y_2(x) = 5 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она монотонно убывает на всей области определения.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=1$:

Левая часть исходного уравнения: $4^1 + 1 = 5$.

Правая часть исходного уравнения: $6 - 1 = 5$.

Значения левой и правой частей совпали, значит, $x=1$ — корень уравнения. Этот корень является единственным.

Ответ: $x=1$.

в) $2^x - 2 = 1 - x$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать функции: $2^x = 3 - x$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = 3 - x$.

Функция $y_1(x) = 2^x$ — показательная, монотонно возрастающая.

Функция $y_2(x) = 3 - x$ — линейная, монотонно убывающая.

Из-за различного характера монотонности функции могут пересечься не более одного раза. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Найдем его подбором.

Проверим $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Так как $2=2$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $x=1$.

г) $3^{-x} = -\frac{3}{x}$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1(x) = 3^{-x}$ и $y_2(x) = -\frac{3}{x}$.

Область определения уравнения: $x \ne 0$.

Проанализируем знаки функций. Функция $y_1(x) = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ является показательной, и ее значения всегда положительны при любом $x$.

Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы правая часть также была положительной: $y_2(x) = -\frac{3}{x} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x < 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен быть отрицательным.

Рассмотрим поведение функций на интервале $(-\infty, 0)$.

Функция $y_1(x) = 3^{-x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Функция $y_2(x) = -\frac{3}{x}$ на интервале $(-\infty, 0)$ является монотонно возрастающей (ее производная $y_2'(x) = \frac{3}{x^2} > 0$).

Так как на интервале $(-\infty, 0)$ одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором из отрицательных чисел.

Проверим $x=-1$:

Левая часть: $3^{-(-1)} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $-\frac{3}{-1} = 3$.

Левая и правая части равны, значит $x=-1$ — корень. Так как на промежутке $(-\infty, 0)$ он единственный, а на $(0, \infty)$ корней нет, это единственное решение уравнения.

Ответ: $x=-1$.

459. Верно ли, что показательная функция $f(x) = a^x$:

а) имеет экстремумы;

б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;

в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;

г) является четной (нечетной)?

Проанализируем свойства показательной функции $f(x) = a^x$, где по определению $a > 0$ и $a \neq 1$.

а) имеет экстремумы;

Экстремумы (точки максимума или минимума) функции находятся в точках, где ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции $f(x) = a^x$:

$f'(x) = (a^x)' = a^x \ln a$.

Поскольку по определению показательной функции $a > 0$, то и $a^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Также, так как $a \neq 1$, то $\ln a \neq 0$. Следовательно, произведение $a^x \ln a$ никогда не равно нулю. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

Кроме того, показательная функция является строго монотонной на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$. Она строго возрастает, если $a > 1$, и строго убывает, если $0 < a < 1$. Строго монотонная функция на открытом интервале не может иметь точек локального экстремума.

Ответ: Нет.

б) принимает наибольшее значение в некоторой точке $x_0$;

Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что множество значений функции не ограничено сверху.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a > 1$, то функция возрастает. При увеличении $x$ значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$.
2. Если $0 < a < 1$, то функция убывает. При уменьшении $x$ (т.е. $x \to -\infty$) значение функции неограниченно растет: $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$.

В обоих случаях функция не достигает своего наибольшего значения ни в какой конечной точке $x_0$.

Ответ: Нет.

в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;

Это утверждение означает, что существует такое $x$, для которого выполняется равенство $a^x = 0$.

Однако, по свойству степени с положительным основанием, для любого действительного показателя $x$ и основания $a > 0$, результат $a^x$ всегда будет строго положительным числом. Область значений функции $f(x) = a^x$ есть интервал $(0, +\infty)$.

Таким образом, уравнение $a^x = 0$ не имеет решений в действительных числах. График показательной функции асимптотически приближается к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает и не касается.

Ответ: Нет.

г) является четной (нечетной)?

Проверим выполнение свойств четности и нечетности для функции $f(x) = a^x$. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = a^{-x} = \frac{1}{a^x}$.

Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = a^x$ (или $a^{2x}=1$) выполняется не для всех $x$, а только для $x=0$. Следовательно, функция не является четной.

Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Сравним $f(-x)$ и $-f(x)$: равенство $\frac{1}{a^x} = -a^x$ (или $1 = -(a^x)^2$) не может выполняться ни при каких $x$, так как левая часть положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, функция не является нечетной.

Поскольку функция не является ни четной, ни нечетной, она является функцией общего вида.

Ответ: Нет.