Номер 453, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 453, страница 228.

Условие.

453.— Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая — убывающей на множестве R:

а) $y=(\sqrt{2})^x$, $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$;

б) $y=(\sqrt{5}-2)^x$, $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$;

в) $y=(\frac{\pi}{3})^x$, $y=(\frac{3}{\pi})^x$;

г) $y=(3-\sqrt{7})^x$, $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения характера монотонности показательной функции вида $y=a^x$ на множестве действительных чисел $R$ необходимо сравнить ее основание $a$ с единицей. Функция является возрастающей, если $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.

а)

Рассмотрим функцию $y=(\sqrt{2})^x$. Основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt{2} > \sqrt{1}=1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то его обратное значение удовлетворяет неравенству $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(\sqrt{2})^x$ — возрастающая, $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$ — убывающая.

б)

Рассмотрим функцию $y=(\sqrt{5}-2)^x$. Основание степени $a = \sqrt{5}-2$. Оценим значение основания. Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$. Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем $0 < \sqrt{5}-2 < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$. Эту функцию можно представить в виде $y=\left(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$. Так как $0 < \sqrt{5}-2 < 1$, то обратная величина $\frac{1}{\sqrt{5}-2} > 1$. Также можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $a = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$. Так как $\sqrt{5} > 2$, то $\sqrt{5}+2 > 4 > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(\sqrt{5}-2)^x$ — убывающая, $y=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^x}$ — возрастающая.

в)

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{\pi}{3}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{\pi}{3}$. Так как значение числа $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 3$, и, следовательно, частное $\frac{\pi}{3} > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\left(\frac{3}{\pi}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{3}{\pi}$. Так как $\pi > 3$, то обратное отношение $0 < \frac{3}{\pi} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Ответ: $y=\left(\frac{\pi}{3}\right)^x$ — возрастающая, $y=\left(\frac{3}{\pi}\right)^x$ — убывающая.

г)

Рассмотрим функцию $y=(3-\sqrt{7})^x$. Основание степени $a = 3-\sqrt{7}$. Оценим значение основания. Известно, что $4 < 7 < 9$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$. Умножая на $-1$, получаем $-3 < -\sqrt{7} < -2$. Прибавляя 3 ко всем частям, имеем $0 < 3-\sqrt{7} < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, данная функция является убывающей на множестве $R$.

Рассмотрим функцию $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$. Эту функцию можно представить в виде $y=\left(\frac{1}{3-\sqrt{7}}\right)^x$. Основание степени $a = \frac{1}{3-\sqrt{7}}$. Так как $0 < 3-\sqrt{7} < 1$, то обратная величина $\frac{1}{3-\sqrt{7}} > 1$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $a = \frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$. Так как $\sqrt{7} > 2$, то $3+\sqrt{7} > 5$, и $\frac{3+\sqrt{7}}{2} > \frac{5}{2} > 1$. Поскольку основание $a > 1$, данная функция является возрастающей на множестве $R$.

Ответ: $y=(3-\sqrt{7})^x$ — убывающая, $y=\frac{1}{(3-\sqrt{7})^x}$ — возрастающая.