Номер 450, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 450, страница 228.

Условие.

450. a) $ \frac{a^2\sqrt{2} - b^2\sqrt{3}}{(a\sqrt{2} - b\sqrt{3})^2} + 1; $

б) $ \frac{(a^{2\sqrt{3}} - 1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}})}{a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}}}; $

В) $ \frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}}; $

г) $ \sqrt{(x^{\pi} + y^{\pi})^2 - \left(\frac{1}{4^{\pi}} xy\right)^{\pi}}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходное выражение: $ \frac{a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})^2} + 1 $.
Рассмотрим числитель дроби $ a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}} $. Его можно представить как разность квадратов, используя свойство степеней $ (x^m)^n = x^{mn} $:
$ a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{2}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $:
$ (a^{\sqrt{2}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2 = (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}})}{(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})^2} + 1 $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}) $ (при условии, что $ a^{\sqrt{2}} \neq b^{\sqrt{3}} $):
$ \frac{a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} + 1 $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} + \frac{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} = \frac{(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}) + (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}})}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} $.
Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}} + a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}} = 2a^{\sqrt{2}} $.
Таким образом, получаем окончательный результат.
Ответ: $ \frac{2a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{(a^{2\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}})}{a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $ a^{\sqrt{3}} $:
$ a^{4\sqrt{3}} - a^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}}(a^{3\sqrt{3}} - 1) $.
Выражение $ a^{3\sqrt{3}} - 1 $ является разностью кубов, так как $ a^{3\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{3}})^3 $.
По формуле разности кубов $ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) $, имеем:
$ (a^{\sqrt{3}})^3 - 1^3 = (a^{\sqrt{3}}-1)((a^{\sqrt{3}})^2 + a^{\sqrt{3}}\cdot 1 + 1^2) = (a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Значит, знаменатель равен: $ a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Теперь преобразуем числитель. Во втором множителе $ (a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + a^{3\sqrt{3}}) $ вынесем $ a^{\sqrt{3}} $ за скобки:
$ a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} + 1 + a^{2\sqrt{3}}) = a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Тогда весь числитель равен: $ (a^{2\sqrt{3}}-1)a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{(a^{2\sqrt{3}}-1)a^{\sqrt{3}}(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1)}{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1)} $.
Сокращаем на общие множители $ a^{\sqrt{3}} $ и $ (a^{2\sqrt{3}} + a^{\sqrt{3}} + 1) $:
$ \frac{a^{2\sqrt{3}}-1}{a^{\sqrt{3}}-1} $.
Числитель $ a^{2\sqrt{3}}-1 $ является разностью квадратов: $ (a^{\sqrt{3}})^2 - 1^2 = (a^{\sqrt{3}}-1)(a^{\sqrt{3}}+1) $.
Получаем: $ \frac{(a^{\sqrt{3}}-1)(a^{\sqrt{3}}+1)}{a^{\sqrt{3}}-1} $.
Сокращаем на $ (a^{\sqrt{3}}-1) $ и получаем результат.
Ответ: $ a^{\sqrt{3}}+1 $.

в) Исходное выражение: $ \frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}} $.
Это выражение построено на основе формулы разности кубов. Введем замены для наглядности:
Пусть $ A = a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} $ и $ B = b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.
Тогда числитель можно записать как:
$ a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}} = a^{3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}} = (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^3 - (b^{\frac{\sqrt{7}}{3}})^3 = A^3 - B^3 $.
А знаменатель:
$ a^{\frac{2\sqrt{5}}{3}} + a^{\frac{\sqrt{5}}{3}}b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{7}}{3}} = (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^2 + (a^{\frac{\sqrt{5}}{3}})(b^{\frac{\sqrt{7}}{3}}) + (b^{\frac{\sqrt{7}}{3}})^2 = A^2 + AB + B^2 $.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} $.
Используя формулу разности кубов $ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) $, получаем:
$ \frac{(A-B)(A^2+AB+B^2)}{A^2+AB+B^2} $.
Сокращаем дробь на $ (A^2+AB+B^2) $, так как этот множитель не равен нулю (при $ a, b > 0 $).
Остается $ A-B $.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ A - B = a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.
Ответ: $ a^{\frac{\sqrt{5}}{3}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{3}} $.

г) Исходное выражение: $ \sqrt{(x^\pi + y^\pi)^2 - (4^{\frac{1}{\pi}} xy)^\pi} $.
Упростим второе слагаемое под корнем, используя свойство степеней $ (abc)^n = a^n b^n c^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:
$ (4^{\frac{1}{\pi}} xy)^\pi = (4^{\frac{1}{\pi}})^\pi \cdot x^\pi \cdot y^\pi = 4^{\frac{1}{\pi} \cdot \pi} x^\pi y^\pi = 4^1 x^\pi y^\pi = 4x^\pi y^\pi $.
Теперь подкоренное выражение выглядит так:
$ (x^\pi + y^\pi)^2 - 4x^\pi y^\pi $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ ((x^\pi)^2 + 2x^\pi y^\pi + (y^\pi)^2) - 4x^\pi y^\pi $.
Приведем подобные слагаемые:
$ x^{2\pi} + 2x^\pi y^\pi - 4x^\pi y^\pi + y^{2\pi} = x^{2\pi} - 2x^\pi y^\pi + y^{2\pi} $.
Это выражение является полным квадратом разности по формуле $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $:
$ (x^\pi - y^\pi)^2 $.
Подставим это обратно под знак корня:
$ \sqrt{(x^\pi - y^\pi)^2} $.
Квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения ($ \sqrt{A^2} = |A| $).
Следовательно, результат равен модулю разности.
Ответ: $ |x^\pi - y^\pi| $.