Номер 456, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 456, страница 228.

Условие.

456. Найдите знак корня уравнения:

а) $(\frac{1}{6})^x = 10$;

б) $0,3^x = 0,1$;

в) $10^x = 4$;

г) $0,7^x = 5$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить знак корня показательного уравнения вида $a^x = b$, необходимо проанализировать основание степени $a$ и значение $b$. Ключевым моментом является сравнение основания $a$ с единицей и значения $b$ также с единицей, поскольку любое положительное число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$).

Существуют два основных случая:

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что для получения значения $b > 1$, показатель степени $x$ должен быть больше нуля ($x > 0$). Для получения значения $0 < b < 1$, показатель степени $x$ должен быть меньше нуля ($x < 0$).
2. Если $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что для получения значения $b > 1$, показатель степени $x$ должен быть меньше нуля ($x < 0$). Для получения значения $0 < b < 1$, показатель степени $x$ должен быть больше нуля ($x > 0$).

Применим эти правила к каждому уравнению.

а) $(\frac{1}{6})^x = 10$

В данном уравнении основание $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < \frac{1}{6} < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 10$, что больше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть отрицательным. Следовательно, $x < 0$.
Ответ: корень отрицательный.

б) $0,3^x = 0,1$

Основание $a = 0,3$. Так как $0 < 0,3 < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 0,1$, что меньше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, меньшее 1, показатель степени должен быть положительным. Следовательно, $x > 0$.
Ответ: корень положительный.

в) $10^x = 4$

Основание $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция является возрастающей. Правая часть уравнения $b = 4$, что больше 1. Для возрастающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть положительным. Следовательно, $x > 0$.
Ответ: корень положительный.

г) $0,7^x = 5$

Основание $a = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$, функция является убывающей. Правая часть уравнения $b = 5$, что больше 1. Для убывающей функции, чтобы получить значение, большее 1, показатель степени должен быть отрицательным. Следовательно, $x < 0$.
Ответ: корень отрицательный.