Номер 455, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 455, страница 228.

Условие.

455. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на $R$:

а) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\sin x}$;

б) $y = 5 + 3^{|\cos x|}$;

В) $y = 4^{\cos x}$;

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|\sin x|} - 2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $y = (\frac{1}{2})^{\sin x}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений тригонометрической функции $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Показательная функция $f(t) = a^t$ с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя степени $(\sin x)$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении показателя.
Наименьшее значение показателя $\sin x$ равно -1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Наибольшее значение показателя $\sin x$ равно 1. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $\frac{1}{2}$.

б) Для функции $y = 5 + 3^{|\cos x|}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $|\cos x|$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le |\cos x| \le 1$.
Показательная функция $f(t) = 3^t$ с основанием $a = 3$, где $a > 1$, является возрастающей. Это означает, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений $y$, нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3^{|\cos x|}$.
Наименьшее значение $|\cos x|$ равно 0. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = 5 + 3^0 = 5 + 1 = 6$.
Наибольшее значение $|\cos x|$ равно 1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = 5 + 3^1 = 5 + 3 = 8$.
Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее значение $6$.

в) Для функции $y = 4^{\cos x}$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Показательная функция $f(t) = 4^t$ с основанием $a = 4$, где $a > 1$, является возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя степени $(\cos x)$, а наименьшее значение $y$ — при наименьшем значении показателя.
Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1. Тогда наименьшее значение функции:
$y_{наим} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1. Тогда наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = 4^{1} = 4$.
Ответ: наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\frac{1}{4}$.

г) Для функции $y = (\frac{1}{3})^{|\sin x|} - 2$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения.
Область значений функции $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $|\sin x|$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le |\sin x| \le 1$.
Показательная функция $f(t) = (\frac{1}{3})^t$ с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это означает, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений $y$, нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $(\frac{1}{3})^{|\sin x|}$.
Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $|\sin x|$, которое равно 0.
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{0} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $|\sin x|$, которое равно 1.
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^{1} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $-1$, наименьшее значение $-\frac{5}{3}$.