Номер 441, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 441, страница 223.

Условие.

441. Сравните числа:

а) $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}}$ и $\sqrt[3]{3^{-1} \sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$;

б) $3^{600}$ и $5^{400}$;

в) $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}}$ и $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{14}}$;

г) $7^{30}$ и $4^{40}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для сравнения чисел $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}}$ и $\sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$ преобразуем оба выражения, представив их в виде степени с основанием 3.

Преобразуем первое выражение: $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}} = (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{5}{6}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{6})} = 3^{-\frac{5}{12}}$.

Преобразуем второе выражение: $\sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{3^{-1}}} = \sqrt[3]{3^{-1} \cdot (3^{-1})^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-1} \cdot 3^{-\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-1 - \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-\frac{5}{4}}} = (3^{-\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{-\frac{5}{12}}$.

Поскольку оба выражения равны $3^{-\frac{5}{12}}$, исходные числа равны.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}} = \sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$.

б) Для сравнения чисел $3^{600}$ и $5^{400}$, приведем их к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 600 и 400 равен 200.

Представим первое число: $3^{600} = 3^{3 \cdot 200} = (3^3)^{200} = 27^{200}$.

Представим второе число: $5^{400} = 5^{2 \cdot 200} = (5^2)^{200} = 25^{200}$.

Теперь сравним $27^{200}$ и $25^{200}$. Так как основания $27 > 25$, а показатели степеней одинаковы и положительны, то $27^{200} > 25^{200}$.

Следовательно, $3^{600} > 5^{400}$.

Ответ: $3^{600} > 5^{400}$.

в) Для сравнения чисел $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}}$ и $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$, приведем их к виду степени с основанием 2.

Преобразуем первое число: $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} = (2^{-1})^{-\frac{5}{7}} = 2^{(-1) \cdot (-\frac{5}{7})} = 2^{\frac{5}{7}}$.

Преобразуем второе число: $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{1+\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{\frac{14}{14}+\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{\frac{17}{14}}} = (2^{\frac{17}{14}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{17}{28}}$.

Теперь нужно сравнить $2^{\frac{5}{7}}$ и $2^{\frac{17}{28}}$. Поскольку основание степени $2 > 1$, большей степени соответствует больший показатель. Сравним показатели $\frac{5}{7}$ и $\frac{17}{28}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 28: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}$.

Так как $\frac{20}{28} > \frac{17}{28}$, то и $2^{\frac{20}{28}} > 2^{\frac{17}{28}}$, а значит $2^{\frac{5}{7}} > 2^{\frac{17}{28}}$.

Следовательно, $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} > \sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} > \sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$.

г) Для сравнения чисел $7^{30}$ и $4^{40}$, приведем их к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 30 и 40 равен 10.

Представим первое число: $7^{30} = 7^{3 \cdot 10} = (7^3)^{10} = 343^{10}$.

Представим второе число: $4^{40} = 4^{4 \cdot 10} = (4^4)^{10} = 256^{10}$.

Сравним $343^{10}$ и $256^{10}$. Так как основания $343 > 256$, а показатели степеней одинаковы и положительны, то $343^{10} > 256^{10}$.

Следовательно, $7^{30} > 4^{40}$.

Ответ: $7^{30} > 4^{40}$.