Номер 434, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 434, страница 222.

Условие.

Упростите выражения (434-435).

434. a) $\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{z-8}{z^{\frac{2}{3}}+2z^{\frac{1}{3}}+4}$;

в) $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x-16}$;

г) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}$, представим числитель $a-b$ как разность квадратов. Заметим, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем: $a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$): $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\frac{z-8}{z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4}$, представим числитель $z-8$ как разность кубов. Заметим, что $z = (z^{\frac{1}{3}})^3$ и $8 = 2^3$.

Используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, получаем: $z-8 = (z^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3 = (z^{\frac{1}{3}} - 2)((z^{\frac{1}{3}})^2 + z^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2^2) = (z^{\frac{1}{3}} - 2)(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(z^{\frac{1}{3}} - 2)(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)}{z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4}$.

Сократим общий множитель $(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю ни при каких действительных $z$): $z^{\frac{1}{3}} - 2$.

Ответ: $z^{\frac{1}{3}} - 2$.

в)

Чтобы упростить выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x-16}$, представим знаменатель $x-16$ как разность квадратов. Заметим, что $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $16 = 4^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $x-16 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 16$): $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 4}$.

Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 4}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$, представим числитель $a+b$ как сумму кубов. Заметим, что $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, получаем: $a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно): $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.