Номер 433, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 433, страница 222.

Условие.

433. a) $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} + 1;$

б) $c^2 + c^{\frac{1}{4}};$

в) $4 - 4^{\frac{1}{3}};$

г) $a + b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} + 1$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}) + (-y^{\frac{1}{3}} + 1)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$, а из второй вынесем $-1$, чтобы получить одинаковое выражение в скобках:

$x^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{1}{3}} - 1) - 1(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(y^{\frac{1}{3}} - 1)$, который можно вынести за скобку:

$(x^{\frac{1}{3}} - 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $(x^{\frac{1}{3}} - 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

б) В выражении $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}$ необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $c^{\frac{1}{4}}$. Для этого представим $c^{\frac{1}{2}}$ в виде $c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}}$ (поскольку $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$):

$c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}} \cdot 1$

Теперь выносим общий множитель $c^{\frac{1}{4}}$ за скобки:

$c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$

Ответ: $c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$

в) В выражении $4 - 4^{\frac{1}{3}}$ вынесем за скобки общий множитель. Сначала представим число $4$ как $4^1$. Наименьший показатель степени у основания $4$ это $\frac{1}{3}$.

Представим $4^1$ как $4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}$, так как по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, а $1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$.

$4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}$

Вынесем общий множитель $4^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$4^{\frac{1}{3}}(4^{\frac{2}{3}} - 1)$

Ответ: $4^{\frac{1}{3}}(4^{\frac{2}{3}} - 1)$

г) Для разложения на множители выражения $a + b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$ снова применим метод группировки. Для удобства сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и слагаемые, содержащие $b^{\frac{1}{2}}$:

$(a + a^{\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Учтем, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$. Вынесем из первой скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$, а из второй — $b^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1) + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$:

$(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$