Номер 436, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 436, страница 222.

Условие.

436. Сравните числа:

а) $\sqrt[7]{3^3}$ и $3^{\frac{19}{8}}$;

б) $0,4^{-2,7}$ и $\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{15}{7}}$;

в) $\sqrt[3]{6^5}$ и $6^{1,7}$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{3}}$ и $\sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним числа $\sqrt[7]{3^3}$ и $3^{\frac{19}{8}}$.

Для сравнения представим оба числа в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае основание равно 3.

Первое число можно представить в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[7]{3^3} = 3^{\frac{3}{7}}$.

Второе число уже представлено в виде степени: $3^{\frac{19}{8}}$.

Теперь нам нужно сравнить показатели степеней: $\frac{3}{7}$ и $\frac{19}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 8 - это их произведение, $7 \cdot 8 = 56$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{24}{56}$

$\frac{19}{8} = \frac{19 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{133}{56}$

Сравниваем полученные дроби: так как $24 < 133$, то $\frac{24}{56} < \frac{133}{56}$. Отсюда следует, что $\frac{3}{7} < \frac{19}{8}$.

Основание степени равно 3, а $3 > 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей, то есть большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Поскольку $\frac{3}{7} < \frac{19}{8}$, то и $3^{\frac{3}{7}} < 3^{\frac{19}{8}}$.

Ответ: $\sqrt[7]{3^3} < 3^{\frac{19}{8}}$.

б) Сравним числа $0,4^{-2,7}$ и $(\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Приведем оба числа к одному основанию. Заметим, что $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Первое число: $0,4^{-2,7} = (\frac{2}{5})^{-2,7}$. Используя свойство степени $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$, получаем: $(\frac{2}{5})^{-2,7} = (\frac{5}{2})^{2,7}$.

Теперь сравним $(\frac{5}{2})^{2,7}$ и $(\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Основание степени $\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, значит, функция возрастающая. Сравним показатели степеней: $2,7$ и $\frac{15}{7}$.

Представим $2,7$ в виде обыкновенной дроби: $2,7 = \frac{27}{10}$.

Теперь сравним дроби $\frac{27}{10}$ и $\frac{15}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $70$.

$\frac{27}{10} = \frac{27 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{189}{70}$

$\frac{15}{7} = \frac{15 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{150}{70}$

Так как $189 > 150$, то $\frac{189}{70} > \frac{150}{70}$, следовательно, $2,7 > \frac{15}{7}$.

Поскольку основание степени больше 1, большему показателю соответствует большее значение степени. Значит, $(\frac{5}{2})^{2,7} > (\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Ответ: $0,4^{-2,7} > (\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{6^5}$ и $6^{1,7}$.

Представим оба числа в виде степени с основанием 6.

Первое число: $\sqrt[3]{6^5} = 6^{\frac{5}{3}}$.

Второе число: $6^{1,7}$.

Основание степени $6 > 1$, поэтому нам нужно сравнить показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $1,7$.

Переведем дробь $\frac{5}{3}$ в десятичную: $\frac{5}{3} = 1,666... = 1,(6)$.

Сравниваем $1,(6)$ и $1,7$. Очевидно, что $1,(6) < 1,7$.

Можно также сравнить в дробях: $1,7 = \frac{17}{10}$. Сравниваем $\frac{5}{3}$ и $\frac{17}{10}$. Общий знаменатель 30.

$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{50}{30}$

$\frac{17}{10} = \frac{17 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{51}{30}$

Так как $50 < 51$, то $\frac{50}{30} < \frac{51}{30}$, значит $\frac{5}{3} < 1,7$.

Поскольку основание $6 > 1$, функция возрастающая, поэтому $6^{\frac{5}{3}} < 6^{1,7}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6^5} < 6^{1,7}$.

г) Сравним числа $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}}$ и $\sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.

Приведем оба числа к одному основанию. Заметим, что $32 = 2^5$, поэтому $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$.

Второе число: $\sqrt[7]{\frac{1}{32}} = \sqrt[7]{(\frac{1}{2})^5} = ((\frac{1}{2})^5)^{\frac{1}{7}} = (\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Теперь сравним $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}}$ и $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Основание степени $\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{2} < 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей, то есть большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $\frac{5}{7}$.

У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $3 < 7$, то $\frac{5}{3} > \frac{5}{7}$.

Поскольку функция убывающая, для показателей $\frac{5}{3} > \frac{5}{7}$ выполняется обратное неравенство для значений степеней: $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}} < (\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}} < \sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.