Номер 432, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 432, страница 222.

Условие.

Разложите на множители (432–433).

432. а) $(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}};

б) $a - a^{\frac{1}{2}};

в) $3 + 3^{\frac{1}{2}};

г) $(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходное выражение: $(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}}$.

Для разложения на множители воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. Применим его к каждому слагаемому:

$(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Теперь мы видим общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$, который можно вынести за скобки:

$a^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

б) Исходное выражение: $a - a^{\frac{1}{2}}$.

Для разложения на множители представим $a$ как степень с основанием $a^{\frac{1}{2}}$. Поскольку $a = a^1 = (a^{\frac{1}{2}})^2$, выражение можно переписать в виде:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)$

Выражение в скобках, $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$, является разностью квадратов, так как $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^{\frac{1}{2}} - 1 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

в) Исходное выражение: $3 + 3^{\frac{1}{2}}$.

Представим число $3$ как $3^1 = (3^{\frac{1}{2}})^2$. Тогда выражение примет вид:

$(3^{\frac{1}{2}})^2 + 3^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$

Ответ: $3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$

г) Исходное выражение: $(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого члена выражения:

$(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$x^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}})$