Номер 425, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 425, страница 217.

Условие.

425.-

a) $\sqrt{x-3} - 6 = \sqrt[4]{x-3};$

б) $\sqrt[3]{x+1} + 2\sqrt[6]{x+1} = 3;$

в) $\sqrt[4]{x-5} = 30 - \sqrt{x-5};$

г) $3\sqrt[10]{x^2-3} + \sqrt[5]{x^2-3} = 4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sqrt{x-3} - 6 = \sqrt[4]{x-3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x-3}$. Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа является неотрицательным, имеем $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x-3}$ можно выразить через $t$ как $(\sqrt[4]{x-3})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 6 = t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь нужно проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя значение $t=3$:

$\sqrt[4]{x-3} = 3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-3})^4 = 3^4$

$x-3 = 81$

$x = 81 + 3$

$x = 84$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$). Так как $84 \ge 3$, решение является верным.

Ответ: $84$.

б) $\sqrt[3]{x+1} + 2\sqrt[6]{x+1} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x+1}$. Так как корень четной степени, $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt[3]{x+1} = (\sqrt[6]{x+1})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, произведение равно $-3$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[6]{x+1} = 1$

Возведем обе части в шестую степень:

$x+1 = 1^6$

$x+1 = 1$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge -1$). $0 \ge -1$, значит, корень подходит.

Ответ: $0$.

в) $\sqrt[4]{x-5} = 30 - \sqrt{x-5}$

Найдем ОДЗ: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Перенесем все члены с переменной в левую часть: $\sqrt[4]{x-5} + \sqrt{x-5} = 30$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$, тогда $t \ge 0$.

Соответственно, $\sqrt{x-5} = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t + t^2 = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 5$ подходит.

Корень $t_2 = -6$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 5$:

$\sqrt[4]{x-5} = 5$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-5 = 5^4$

$x-5 = 625$

$x = 630$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge 5$). $630 \ge 5$, корень подходит.

Ответ: $630$.

г) $3\sqrt[10]{x^2-3} + \sqrt[5]{x^2-3} = 4$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем десятой степени должно быть неотрицательным: $x^2-3 \ge 0 \implies x^2 \ge 3$. Решением неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[10]{x^2-3}$, тогда $t \ge 0$.

Соответственно, $\sqrt[5]{x^2-3} = (\sqrt[10]{x^2-3})^2 = t^2$.

Подставим в уравнение:

$3t + t^2 = 4$

$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-4$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -4$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[10]{x^2-3} = 1$

Возведем обе части в десятую степень:

$x^2-3 = 1^{10}$

$x^2-3 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Проверим корни по ОДЗ ($x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$). Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то:

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge \sqrt{3}$.

$x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le -\sqrt{3}$.

Оба корня подходят.

Ответ: $\pm 2$.