Номер 492, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 492, страница 237.

Условие.

Прологарифмируйте по основанию 10, где $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ (492—493).

492. a) $100 \sqrt{ab^3c}$

б) $\frac{a^5}{0.1c^2 \sqrt{b}}$

в) $\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}$

г) $\frac{0.01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}} b^3}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами десятичного логарифма (логарифма по основанию 10, обозначаемого как $\lg$):

• Логарифм произведения: $\lg(x \cdot y) = \lg x + \lg y$
• Логарифм частного: $\lg(\frac{x}{y}) = \lg x - \lg y$
• Логарифм степени: $\lg(x^p) = p \cdot \lg x$
• Связь с корнем: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
• $\lg(10^n) = n$

Условие $a > 0, b > 0, c > 0$ обеспечивает существование всех логарифмов.

а)

Прологарифмируем выражение $100 \sqrt{ab^3c}$.

$\lg(100 \sqrt{ab^3c}) = \lg(100) + \lg(\sqrt{ab^3c})$
$= \lg(10^2) + \lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}})$
$= 2 + \frac{1}{2}\lg(ab^3c)$
$= 2 + \frac{1}{2}(\lg a + \lg b^3 + \lg c)$
$= 2 + \frac{1}{2}(\lg a + 3\lg b + \lg c)$
$= 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$

Ответ: $2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

б)

Прологарифмируем выражение $\frac{a^5}{0,1c^2\sqrt{b}}$.

$\lg\left(\frac{a^5}{0,1c^2\sqrt{b}}\right) = \lg(a^5) - \lg(0,1c^2\sqrt{b})$
$= 5\lg a - (\lg(0,1) + \lg(c^2) + \lg(\sqrt{b}))$
$= 5\lg a - (\lg(10^{-1}) + 2\lg c + \lg(b^{\frac{1}{2}}))$
$= 5\lg a - (-1 + 2\lg c + \frac{1}{2}\lg b)$
$= 5\lg a + 1 - 2\lg c - \frac{1}{2}\lg b$

Ответ: $5\lg a - \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c + 1$.

в)

Прологарифмируем выражение $\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}$.

$\lg\left(\sqrt[3]{10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}}\right) = \lg\left(\left(10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)$
$= \frac{1}{3}\lg\left(10 a^{\frac{1}{3}} b^4 c^{-\frac{1}{2}}\right)$
$= \frac{1}{3}\left(\lg 10 + \lg\left(a^{\frac{1}{3}}\right) + \lg(b^4) + \lg\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)\right)$
$= \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{3}\lg a + 4\lg b - \frac{1}{2}\lg c\right)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\lg a + \frac{4}{3}\lg b - \frac{1}{6}\lg c$

Ответ: $\frac{1}{9}\lg a + \frac{4}{3}\lg b - \frac{1}{6}\lg c + \frac{1}{3}$.

г)

Прологарифмируем выражение $\frac{0,01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^3}$.

$\lg\left(\frac{0,01c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^3}\right) = \lg\left(0,01c^{\frac{2}{3}}\right) - \lg\left(a^{\frac{1}{2}}b^3\right)$
$= \left(\lg(0,01) + \lg\left(c^{\frac{2}{3}}\right)\right) - \left(\lg\left(a^{\frac{1}{2}}\right) + \lg(b^3)\right)$
$= \left(\lg(10^{-2}) + \frac{2}{3}\lg c\right) - \left(\frac{1}{2}\lg a + 3\lg b\right)$
$= -2 + \frac{2}{3}\lg c - \frac{1}{2}\lg a - 3\lg b$

Ответ: $-\frac{1}{2}\lg a - 3\lg b + \frac{2}{3}\lg c - 2$.