Номер 495, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 495, страница 237.

Условие.

Вычислите (495–496).

495.—

a) $\lg 8 + \lg 125;$

б) $\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16};$

в) $\log_{12} 4 + \log_{12} 36;$

г) $\lg 13 - \lg 130.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a)

Для вычисления значения выражения $\text{lg } 8 + \text{lg } 125$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием. Напомним, что $\text{lg}$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

Свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\text{lg } 8 + \text{lg } 125 = \text{lg}(8 \cdot 125)$

Теперь вычислим произведение чисел в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

Таким образом, наше выражение равно $\text{lg } 1000$.

По определению логарифма, $\text{lg } 1000$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Так как $1000 = 10^3$, получаем:

$\text{lg } 1000 = \log_{10}10^3 = 3$

Ответ: 3

б)

Для вычисления значения выражения $\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16}$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием.

Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16} = \log_2(7 \div \frac{7}{16})$

Теперь вычислим частное в скобках:

$7 \div \frac{7}{16} = 7 \cdot \frac{16}{7} = 16$

Таким образом, наше выражение равно $\log_2 16$.

По определению логарифма, $\log_2 16$ — это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 16. Так как $16 = 2^4$, получаем:

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

Ответ: 4

в)

Для вычисления значения выражения $\log_{12} 4 + \log_{12} 36$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием, как и в пункте а).

Свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12}(4 \cdot 36)$

Теперь вычислим произведение чисел в скобках:

$4 \cdot 36 = 144$

Таким образом, наше выражение равно $\log_{12} 144$.

По определению логарифма, $\log_{12} 144$ — это степень, в которую нужно возвести 12, чтобы получить 144. Так как $144 = 12^2$, получаем:

$\log_{12} 144 = \log_{12} 12^2 = 2$

Ответ: 2

г)

Для вычисления значения выражения $\text{lg } 13 - \text{lg } 130$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием, как и в пункте б). Основание логарифма равно 10.

Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\text{lg } 13 - \text{lg } 130 = \text{lg}(\frac{13}{130})$

Теперь вычислим частное в скобках:

$\frac{13}{130} = \frac{1}{10}$

Таким образом, наше выражение равно $\text{lg } (\frac{1}{10})$.

По определению логарифма, $\text{lg } (\frac{1}{10})$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить $\frac{1}{10}$. Так как $\frac{1}{10} = 10^{-1}$, получаем:

$\text{lg } (\frac{1}{10}) = \log_{10} 10^{-1} = -1$

Ответ: -1