Номер 500, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 500, страница 241.

Условие.

500. a) $log_{\sqrt{10}}(6 + x - x^2)$;

б) $lg\frac{2x+5}{x-1}$;

в) $log_{0.9}\frac{2+3x}{5-2x}$;

г) $log_{\sqrt{2}}(x^2 - 2x - 3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для функции $log_{\sqrt{10}}(6 + x - x^2)$ это условие записывается в виде неравенства:

$6 + x - x^2 > 0$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$ (поскольку $3 + (-2) = 1$ и $3 \cdot (-2) = -6$).

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-2; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$.

б) Аргумент десятичного логарифма (lg) должен быть строго больше нуля. Для функции $lg\frac{2x+5}{x-1}$ получаем неравенство:

$\frac{2x+5}{x-1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -2.5$

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Нанесем эти точки на числовую ось, они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)+5}{2-1} = 9 > 0$. Интервал подходит.
• При $-2.5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)+5}{0-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)+5}{-3-1} = \frac{-1}{-4} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (1; +\infty)$.

в) Аргумент логарифма должен быть строго положителен. Для функции $log_{0.9}\frac{2+3x}{5-2x}$ получаем неравенство:

$\frac{2+3x}{5-2x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2 + 3x = 0 \Rightarrow x = -2/3$

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5/2 = 2.5$

Нанесем точки $x = -2/3$ и $x = 2.5$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x > 2.5$ (например, $x=3$): $\frac{2+3(3)}{5-2(3)} = \frac{11}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-2/3 < x < 2.5$ (например, $x=0$): $\frac{2+3(0)}{5-2(0)} = \frac{2}{5} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -2/3$ (например, $x=-1$): $\frac{2+3(-1)}{5-2(-1)} = \frac{-1}{7} < 0$. Интервал не подходит.

Решением является интервал, где дробь положительна.

Ответ: $x \in (-2/3; 2.5)$.

г) Область определения функции $log_{\sqrt{2}}(x^2-2x-3)$ задается условием положительности ее аргумента:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$ (поскольку $3 + (-1) = 2$ и $3 \cdot (-1) = -3$).

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.