Номер 505, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 505, страница 241.

Условие.

505. – Найдите область определения выражения:

а) $\log_2 \sin x$;

б) $\log_3 (2^x - 1)$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} \cos x$;

г) $\lg (1 - 3^x)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) Область определения выражения $\log_2 \sin x$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$\sin x > 0$
Функция синуса принимает положительные значения в первой и второй координатных четвертях. Решением данного тригонометрического неравенства являются интервалы, в которых угол $x$ удовлетворяет условию $0 < x < \pi$. Учитывая периодичность функции синус, равную $2\pi$, общее решение можно записать в виде:
$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для выражения $\log_3 (2^x - 1)$ область определения задается условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля.
Составим и решим неравенство:
$2^x - 1 > 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$2^x > 1$
Так как $1 = 2^0$, неравенство принимает вид:
$2^x > 2^0$
Поскольку основание степени $2$ больше 1, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей степеней:
$x > 0$
Ответ: $x > 0$, или в виде интервала $(0; +\infty)$.

в) Область определения выражения $\log_{\frac{1}{2}} \cos x$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.
Решим неравенство:
$\cos x > 0$
Функция косинуса принимает положительные значения в первой и четвертой координатных четвертях. Решением данного неравенства являются интервалы, в которых угол $x$ удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность функции косинус, равную $2\pi$, общее решение записывается как:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Для выражения $\lg (1 - 3^x)$ (десятичный логарифм) область определения находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$1 - 3^x > 0$
Перенесем $3^x$ в правую часть:
$1 > 3^x$ или $3^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^x < 3^0$
Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 0$
Ответ: $x < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.