Номер 510, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 510, страница 242.

Условие.

510. Верно ли, что логарифмическая функция:

а) имеет экстремумы;

б) является нечетной;

в) является периодической;

г) является четной?

Решение 1.

Решение 5.

а) имеет экстремумы; Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_a(x)$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения этой функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.
Для нахождения экстремумов (точек максимума и минимума) найдем производную функции:
$y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
Чтобы найти критические точки, нужно приравнять производную к нулю или найти точки, где она не существует.
Поскольку $x > 0$ и $\ln a$ — константа, не равная нулю, производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Также производная существует для всех $x$ из области определения функции.
Так как у функции нет критических точек, у нее нет и экстремумов. Логарифмическая функция является строго монотонной на всей своей области определения: она строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

б) является нечетной; Функция $f(x)$ называется нечетной, если выполняются два условия:
1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения логарифмической функции $y = \log_a(x)$ — это интервал $(0, +\infty)$. Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, число $2$ входит в область определения, а число $-2$ — нет.
Поскольку первое условие не выполнено, функция не может быть нечетной.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

в) является периодической; Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Как было показано в пункте (а), логарифмическая функция является строго монотонной.
Если функция строго возрастает (при $a > 1$), то для любого $T > 0$ будет выполняться неравенство $\log_a(x+T) > \log_a(x)$.
Если функция строго убывает (при $0 < a < 1$), то для любого $T > 0$ будет выполняться неравенство $\log_a(x+T) < \log_a(x)$.
Равенство $\log_a(x+T) = \log_a(x)$ при $T \neq 0$ невозможно. Следовательно, логарифмическая функция не является периодической.
Ответ: Нет, утверждение неверно.

г) является четной? Функция $f(x)$ называется четной, если выполняются два условия:
1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Как и в случае с проверкой на нечетность, область определения логарифмической функции $y = \log_a(x)$, равная $(0, +\infty)$, не является симметричной относительно нуля.
Так как первое условие не выполняется, функция не является четной. Логарифмическая функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
Ответ: Нет, утверждение неверно.