Номер 509, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 509, страница 242.

Условие.

509.— Решите графически уравнение:

а) $ \lg x = 1 - x $;

б) $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $;

в) $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $;

г) $ \log_2 x = 3 - x $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы решить уравнение $ \lg x = 1 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \lg x $ и $ y = 1 - x $. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. График функции $ y = \lg x $ — это логарифмическая кривая (десятичный логарифм), которая проходит через точку $ (1, 0) $, возрастает на всей области определения $ x > 0 $ и имеет вертикальную асимптоту $ x = 0 $. Возьмем несколько точек для построения: $ (0.1, -1) $, $ (1, 0) $, $ (10, 1) $.

2. График функции $ y = 1 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 1 $ (точка $ (0, 1) $); если $ y = 0 $, то $ x = 1 $ (точка $ (1, 0) $).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $ (1, 0) $.

Проверим, является ли $ x = 1 $ корнем уравнения:

Левая часть: $ \lg 1 = 0 $.

Правая часть: $ 1 - 1 = 0 $.

$ 0 = 0 $, следовательно, $ x = 1 $ является решением.

Так как функция $ y = \lg x $ является возрастающей, а функция $ y = 1 - x $ — убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, это единственное решение.

Ответ: $ x = 1 $

б)

Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ и $ y = x - 4 $.

1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, функция является убывающей на всей области определения $ x > 0 $. График проходит через точку $ (1, 0) $. Возьмем еще точки: $ (\frac{1}{3}, 1) $, $ (3, -1) $, $ (9, -2) $.

2. График функции $ y = x - 4 $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = -4 $ (точка $ (0, -4) $); если $ x = 4 $, то $ y = 0 $ (точка $ (4, 0) $).

Построив графики, находим их точку пересечения. Из графика видно, что это точка с абсциссой $ x = 3 $.

Проверим это значение:

Левая часть: $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 $.

Правая часть: $ 3 - 4 = -1 $.

$ -1 = -1 $, значит, $ x = 3 $ является решением.

Функция $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ убывающая, а $ y = x - 4 $ — возрастающая, поэтому они пересекаются только в одной точке.

Ответ: $ x = 3 $

в)

Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ и $ y = x - 6 $.

1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ — это убывающая логарифмическая кривая (основание $ \frac{1}{5} < 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (5, -1) $, $ (\frac{1}{5}, 1) $.

2. График функции $ y = x - 6 $ — это прямая линия. Для построения возьмем точки: если $ x = 0 $, то $ y = -6 $ (точка $ (0, -6) $); если $ x = 6 $, то $ y = 0 $ (точка $ (6, 0) $).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в точке, абсцисса которой равна $ 5 $.

Выполним проверку для $ x = 5 $:

Левая часть: $ \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1 $.

Правая часть: $ 5 - 6 = -1 $.

$ -1 = -1 $, что подтверждает правильность решения.

Так как одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть только одна точка пересечения.

Ответ: $ x = 5 $

г)

Для решения уравнения $ \log_2 x = 3 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_2 x $ и $ y = 3 - x $.

1. График функции $ y = \log_2 x $ — это возрастающая логарифмическая кривая (основание $ 2 > 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (2, 1) $, $ (4, 2) $.

2. График функции $ y = 3 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 3 $ (точка $ (0, 3) $); если $ x = 3 $, то $ y = 0 $ (точка $ (3, 0) $).

Начертив оба графика, мы можем определить их точку пересечения. Видно, что это точка с абсциссой $ x = 2 $.

Проверим подстановкой $ x = 2 $ в исходное уравнение:

Левая часть: $ \log_2 2 = 1 $.

Правая часть: $ 3 - 2 = 1 $.

$ 1 = 1 $. Решение найдено верно.

Функция $ y = \log_2 x $ — возрастающая, а функция $ y = 3 - x $ — убывающая, поэтому решение единственно.

Ответ: $ x = 2 $