Номер 509, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 509, страница 242.
№509 (с. 242)
Условие. №509 (с. 242)
скриншот условия

509.— Решите графически уравнение:
а) $ \lg x = 1 - x $;
б) $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $;
в) $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $;
г) $ \log_2 x = 3 - x $.
Решение 1. №509 (с. 242)

Решение 3. №509 (с. 242)


Решение 5. №509 (с. 242)
а)
Чтобы решить уравнение $ \lg x = 1 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \lg x $ и $ y = 1 - x $. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.
1. График функции $ y = \lg x $ — это логарифмическая кривая (десятичный логарифм), которая проходит через точку $ (1, 0) $, возрастает на всей области определения $ x > 0 $ и имеет вертикальную асимптоту $ x = 0 $. Возьмем несколько точек для построения: $ (0.1, -1) $, $ (1, 0) $, $ (10, 1) $.
2. График функции $ y = 1 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 1 $ (точка $ (0, 1) $); если $ y = 0 $, то $ x = 1 $ (точка $ (1, 0) $).
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $ (1, 0) $.
Проверим, является ли $ x = 1 $ корнем уравнения:
Левая часть: $ \lg 1 = 0 $.
Правая часть: $ 1 - 1 = 0 $.
$ 0 = 0 $, следовательно, $ x = 1 $ является решением.
Так как функция $ y = \lg x $ является возрастающей, а функция $ y = 1 - x $ — убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, это единственное решение.
Ответ: $ x = 1 $
б)
Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ и $ y = x - 4 $.
1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, функция является убывающей на всей области определения $ x > 0 $. График проходит через точку $ (1, 0) $. Возьмем еще точки: $ (\frac{1}{3}, 1) $, $ (3, -1) $, $ (9, -2) $.
2. График функции $ y = x - 4 $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = -4 $ (точка $ (0, -4) $); если $ x = 4 $, то $ y = 0 $ (точка $ (4, 0) $).
Построив графики, находим их точку пересечения. Из графика видно, что это точка с абсциссой $ x = 3 $.
Проверим это значение:
Левая часть: $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 $.
Правая часть: $ 3 - 4 = -1 $.
$ -1 = -1 $, значит, $ x = 3 $ является решением.
Функция $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ убывающая, а $ y = x - 4 $ — возрастающая, поэтому они пересекаются только в одной точке.
Ответ: $ x = 3 $
в)
Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{5}} x = x - 6 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ и $ y = x - 6 $.
1. График функции $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ — это убывающая логарифмическая кривая (основание $ \frac{1}{5} < 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (5, -1) $, $ (\frac{1}{5}, 1) $.
2. График функции $ y = x - 6 $ — это прямая линия. Для построения возьмем точки: если $ x = 0 $, то $ y = -6 $ (точка $ (0, -6) $); если $ x = 6 $, то $ y = 0 $ (точка $ (6, 0) $).
Построив графики, мы видим, что они пересекаются в точке, абсцисса которой равна $ 5 $.
Выполним проверку для $ x = 5 $:
Левая часть: $ \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1 $.
Правая часть: $ 5 - 6 = -1 $.
$ -1 = -1 $, что подтверждает правильность решения.
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть только одна точка пересечения.
Ответ: $ x = 5 $
г)
Для решения уравнения $ \log_2 x = 3 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_2 x $ и $ y = 3 - x $.
1. График функции $ y = \log_2 x $ — это возрастающая логарифмическая кривая (основание $ 2 > 1 $) с областью определения $ x > 0 $. График проходит через точки $ (1, 0) $, $ (2, 1) $, $ (4, 2) $.
2. График функции $ y = 3 - x $ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: если $ x = 0 $, то $ y = 3 $ (точка $ (0, 3) $); если $ x = 3 $, то $ y = 0 $ (точка $ (3, 0) $).
Начертив оба графика, мы можем определить их точку пересечения. Видно, что это точка с абсциссой $ x = 2 $.
Проверим подстановкой $ x = 2 $ в исходное уравнение:
Левая часть: $ \log_2 2 = 1 $.
Правая часть: $ 3 - 2 = 1 $.
$ 1 = 1 $. Решение найдено верно.
Функция $ y = \log_2 x $ — возрастающая, а функция $ y = 3 - x $ — убывающая, поэтому решение единственно.
Ответ: $ x = 2 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 509 расположенного на странице 242 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №509 (с. 242), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.