Номер 511, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 511, страница 242.
№511 (с. 242)
Условие. №511 (с. 242)
скриншот условия

511. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке I:
а) $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x, I = [1; 4];$
б) $f(x) = \log_9 x, I = \left[\frac{1}{9}; 9\right];$
в) $f(x) = \log_5 x, I = \left[\frac{1}{5}; 1\right];$
г) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x, I = \left[\frac{1}{2}; 4\right].$
Решение 1. №511 (с. 242)


Решение 3. №511 (с. 242)

Решение 5. №511 (с. 242)
а)
Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ на промежутке $I = [1; 4]$. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонной на всей своей области определения. Характер монотонности зависит от основания логарифма $a$. В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. На отрезке $[c; d]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наименьшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[1; 4]$:
- Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
$f(1) = \log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$. - Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
$f(4) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1$, так как $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.
б)
Дана функция $f(x) = \log_9 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{9}; 9]$. Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[c; d]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наибольшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[\frac{1}{9}; 9]$:
- Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{9}$:
$f(\frac{1}{9}) = \log_9 (\frac{1}{9}) = \log_9 (9^{-1}) = -1$. - Наибольшее значение функция принимает при $x = 9$:
$f(9) = \log_9 9 = 1$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-1$.
в)
Дана функция $f(x) = \log_5 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{5}; 1]$. Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[\frac{1}{5}; 1]$ функция достигает наименьшего значения в левой границе и наибольшего в правой.
- Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{5}$:
$f(\frac{1}{5}) = \log_5 (\frac{1}{5}) = \log_5 (5^{-1}) = -1$. - Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
$f(1) = \log_5 1 = 0$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.
г)
Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ на промежутке $I = [\frac{1}{2}; 4]$. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей. На отрезке $[\frac{1}{2}; 4]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе и наименьшего значения в правой границе.
- Наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{2}$:
$f(\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$. - Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
$f(4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-2}) = -2$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 511 расположенного на странице 242 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №511 (с. 242), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.