Номер 511, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 511, страница 242.

Условие.

511. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке I:

а) $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x, I = [1; 4];$

б) $f(x) = \log_9 x, I = \left[\frac{1}{9}; 9\right];$

в) $f(x) = \log_5 x, I = \left[\frac{1}{5}; 1\right];$

г) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x, I = \left[\frac{1}{2}; 4\right].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ на промежутке $I = [1; 4]$. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонной на всей своей области определения. Характер монотонности зависит от основания логарифма $a$. В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. На отрезке $[c; d]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наименьшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[1; 4]$:

• Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
  $f(1) = \log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$.
• Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
  $f(4) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1$, так как $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.

б)

Дана функция $f(x) = \log_9 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{9}; 9]$. Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[c; d]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в левой границе отрезка ($x=c$) и наибольшего значения в правой границе ($x=d$). Следовательно, для отрезка $[\frac{1}{9}; 9]$:

• Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{9}$:
  $f(\frac{1}{9}) = \log_9 (\frac{1}{9}) = \log_9 (9^{-1}) = -1$.
• Наибольшее значение функция принимает при $x = 9$:
  $f(9) = \log_9 9 = 1$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-1$.

в)

Дана функция $f(x) = \log_5 x$ на промежутке $I = [\frac{1}{5}; 1]$. Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является строго возрастающей. На отрезке $[\frac{1}{5}; 1]$ функция достигает наименьшего значения в левой границе и наибольшего в правой.

• Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{5}$:
  $f(\frac{1}{5}) = \log_5 (\frac{1}{5}) = \log_5 (5^{-1}) = -1$.
• Наибольшее значение функция принимает при $x = 1$:
  $f(1) = \log_5 1 = 0$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-1$.

г)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ на промежутке $I = [\frac{1}{2}; 4]$. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей. На отрезке $[\frac{1}{2}; 4]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в левой границе и наименьшего значения в правой границе.

• Наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{1}{2}$:
  $f(\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$.
• Наименьшее значение функция принимает при $x = 4$:
  $f(4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-2}) = -2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.