Номер 504, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 504, страница 241.

Условие.

504.- Перечислите основные свойства функции и постройте ее график:

а) $y = \log_3 x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

в) $y = \log_4 x$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = \log_3 x$

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Логарифмическая функция может принимать любое действительное значение.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_3 x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_3 x = -\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек, выбирая значения $x$ как степени основания 3:

• при $x = 1/9$, $y = \log_3(1/9) = \log_3(3^{-2}) = -2$
• при $x = 1/3$, $y = \log_3(1/3) = \log_3(3^{-1}) = -1$
• при $x = 1$, $y = \log_3(1) = 0$
• при $x = 3$, $y = \log_3(3) = 1$
• при $x = 9$, $y = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/9, -2)$, $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, возрастает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ (вертикальной асимптоте) в нижней части координатной плоскости.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_3 x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго возрастающая. График проходит через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$ и $(3, 1)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_{\frac{1}{2}} x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_{\frac{1}{2}} x = +\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=1/2$, где $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/4$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1/4) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^2) = 2$
• при $x = 1/2$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1/2) = 1$
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$
• при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(2) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^{-1}) = -1$
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^{-2}) = -2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/4, 2)$, $(1/2, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$, убывает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ (вертикальной асимптоте) в верхней части координатной плоскости.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго убывающая. График проходит через точки $(1/2, 1)$, $(1, 0)$ и $(2, -1)$.

в) $y = \log_4 x$

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_4 x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_4 x = -\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=4 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $0 < x < 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/16$, $y = \log_4(1/16) = \log_4(4^{-2}) = -2$
• при $x = 1/4$, $y = \log_4(1/4) = \log_4(4^{-1}) = -1$
• при $x = 1$, $y = \log_4(1) = 0$
• при $x = 4$, $y = \log_4(4) = 1$
• при $x = 16$, $y = \log_4(16) = \log_4(4^2) = 2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/16, -2)$, $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(16, 2)$, возрастает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ в нижней части плоскости. По сравнению с графиком $y=\log_3 x$, данный график растет медленнее при $x>1$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_4 x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго возрастающая. График проходит через точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_{\frac{1}{3}} x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_{\frac{1}{3}} x = +\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=1/3$, где $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/9) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^2) = 2$
• при $x = 1/3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/3) = 1$
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1) = 0$
• при $x = 3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(3) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^{-1}) = -1$
• при $x = 9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^{-2}) = -2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/9, 2)$, $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$, убывает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ в верхней части плоскости. По сравнению с графиком $y=\log_{1/2} x$, данный график убывает быстрее при $x>1$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго убывающая. График проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$ и $(3, -1)$.