Номер 503, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 503, страница 241.

Условие.

503. а) $\log_2 10$ и $\log_5 30$;

б) $\log_{0,3} 2$ и $\log_5 3$;

в) $\log_3 5$ и $\log_7 4$;

г) $\log_3 10$ и $\log_8 57$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы сравнить $\log_2 10$ и $\log_5 30$, оценим каждое выражение, сравнив его с целыми числами.
Для первого выражения $\log_2 10$:
Известно, что $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$.
Так как $8 < 10 < 16$, то, логарифмируя по основанию 2 (функция возрастающая, так как основание $2>1$), получаем $\log_2 8 < \log_2 10 < \log_2 16$.
Следовательно, $3 < \log_2 10 < 4$.
Для второго выражения $\log_5 30$:
Известно, что $5^2 = 25$ и $5^3 = 125$.
Так как $25 < 30 < 125$, то, логарифмируя по основанию 5 (функция возрастающая, так как основание $5>1$), получаем $\log_5 25 < \log_5 30 < \log_5 125$.
Следовательно, $2 < \log_5 30 < 3$.
Сравнивая полученные неравенства, видим, что $\log_2 10 > 3$, а $\log_5 30 < 3$.
Значит, $\log_2 10 > \log_5 30$.
Ответ: $\log_2 10 > \log_5 30$.

б)

Чтобы сравнить $\log_{0,3} 2$ и $\log_5 3$, определим знак каждого из логарифмов.
Для первого выражения $\log_{0,3} 2$:
Основание логарифма $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.
Аргумент логарифма $x=2$, что больше 1.
Так как $0,3^0 = 1$, а функция убывающая, то для аргумента $2 > 1$ значение логарифма будет меньше, чем для аргумента 1: $\log_{0,3} 2 < \log_{0,3} 1 = 0$.
Для второго выражения $\log_5 3$:
Основание логарифма $a = 5$, что больше 1. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей.
Аргумент логарифма $x=3$, что больше 1.
Так как $5^0 = 1$, а функция возрастающая, то для аргумента $3 > 1$ значение логарифма будет больше, чем для аргумента 1: $\log_5 3 > \log_5 1 = 0$.
Следовательно, $\log_{0,3} 2$ является отрицательным числом, а $\log_5 3$ — положительным.
Ответ: $\log_{0,3} 2 < \log_5 3$.

в)

Чтобы сравнить $\log_3 5$ и $\log_7 4$, сравним каждое из выражений с единицей.
Для первого выражения $\log_3 5$:
Основание $a=3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ возрастающая.
Поскольку $5 > 3$, то $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$.
Для второго выражения $\log_7 4$:
Основание $a=7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая.
Поскольку $4 < 7$, то $\log_7 4 < \log_7 7 = 1$.
Таким образом, $\log_3 5$ больше 1, а $\log_7 4$ меньше 1.
Ответ: $\log_3 5 > \log_7 4$.

г)

Чтобы сравнить $\log_3 10$ и $\log_8 57$, сравним каждое из выражений с целым числом 2.
Для первого выражения $\log_3 10$:
Основание $a=3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ возрастающая.
Сравним $10$ с $3^2=9$. Поскольку $10 > 9$, то $\log_3 10 > \log_3 9 = 2$.
Для второго выражения $\log_8 57$:
Основание $a=8 > 1$, функция $y = \log_8 x$ возрастающая.
Сравним $57$ с $8^2=64$. Поскольку $57 < 64$, то $\log_8 57 < \log_8 64 = 2$.
Таким образом, $\log_3 10$ больше 2, а $\log_8 57$ меньше 2.
Ответ: $\log_3 10 > \log_8 57$.