Номер 496, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 496, страница 237.

Условие.

496. a) $\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3};$

б) $\frac{\log_3 16}{\log_3 4};$

в) $\log_2 11 - \log_2 44;$

г) $\log_{0,3} 9 - 2 \log_{0,3} 10.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала упростим числитель, используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg 144$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a(x^n)$ и свойство суммы логарифмов:
$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$\frac{\lg 144}{\lg 12}$.
Далее применим формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$:
$\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12} 144$.
Так как $12^2 = 144$, то $\log_{12} 144 = 2$.
Ответ: 2

б) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
В данном случае основание $c=3$, $a=16$ и $b=4$:
$\frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16$.
Нужно найти степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 16. Так как $4^2 = 16$, то значение логарифма равно 2.
$\log_4 16 = 2$.
Ответ: 2

в) Для решения данного примера воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_2 11 - \log_2 44 = \log_2(\frac{11}{44})$.
Упростим дробь под знаком логарифма:
$\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$.
Получаем выражение:
$\log_2(\frac{1}{4})$.
Чтобы найти значение этого логарифма, представим $\frac{1}{4}$ как степень числа 2.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Следовательно:
$\log_2(2^{-2}) = -2$.
Ответ: -2

г) Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a(x^n)$ ко второму члену выражения:
$2 \log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100$.
Теперь выражение принимает вид:
$\log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100$.
Далее воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 = \log_{0,3}(\frac{9}{100})$.
Чтобы найти значение этого логарифма, представим аргумент $\frac{9}{100}$ в виде степени основания $0,3$.
$\frac{9}{100} = 0,09 = (0,3)^2$.
Таким образом, получаем:
$\log_{0,3}((0,3)^2)$.
По определению логарифма $\log_b(b^x) = x$, получаем:
$\log_{0,3}((0,3)^2) = 2$.
Ответ: 2