Номер 498, страница 237 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 498, страница 237.

Условие.

498. Докажите:

а) $\log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} < -2;$

б) $4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4};$

в) $\log_3 7 + \log_7 3 > 2;$

г) $3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для доказательства неравенства $ \log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} < -2 $ преобразуем его левую часть.

Вычислим значение первого слагаемого, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $: $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{3^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_3 3 = -1 \cdot 1 = -1 $.

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство $ \log_a (b^k) = k \log_a b $: $ \log_3 \frac{1}{2} = \log_3 (2^{-1}) = -1 \cdot \log_3 2 = -\log_3 2 $.

После подстановки преобразованных выражений исходное неравенство принимает вид: $ -1 - \log_3 2 < -2 $.

Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $ -\log_3 2 < -1 $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ \log_3 2 > 1 $.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $ 1 = \log_3 3 $. Неравенство принимает вид: $ \log_3 2 > \log_3 3 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, неравенство $ \log_3 2 > \log_3 3 $ было бы верным, только если бы $ 2 > 3 $.

Мы получили ложное неравенство $ 2 > 3 $, что означает, что исходное утверждение неверно. Все преобразования были равносильными, следовательно, должно выполняться обратное неравенство.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. На самом деле, $ \log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_3 \frac{1}{2} > -2 $.

б)

Докажем тождество $ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} $. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 5. Это можно сделать, так как обе части являются положительными числами.

Логарифм левой части: $ \log_5(4^{\log_5 7}) $. Используя свойство логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $, получаем: $ \log_5 7 \cdot \log_5 4 $.

Логарифм правой части: $ \log_5(7^{\log_5 4}) $. Используя то же свойство, получаем: $ \log_5 4 \cdot \log_5 7 $.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется, $ \log_5 7 \cdot \log_5 4 = \log_5 4 \cdot \log_5 7 $. Поскольку логарифмы левой и правой частей по одному и тому же основанию равны, то и сами выражения равны.

Ответ: Тождество $ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} $ доказано.

в)

Докажем неравенство $ \log_3 7 + \log_7 3 > 2 $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $. Применим ее ко второму слагаемому: $ \log_7 3 = \frac{1}{\log_3 7} $.

Обозначим $ x = \log_3 7 $. Тогда неравенство примет вид: $ x + \frac{1}{x} > 2 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $ и число под логарифмом $ 7 > 1 $, то значение логарифма $ x = \log_3 7 $ положительно. $ x = \log_3 7 > \log_3 3 = 1 $, значит $ x > 1 $.

Умножим обе части неравенства $ x + \frac{1}{x} > 2 $ на $ x $. Так как $ x > 0 $, знак неравенства не изменится: $ x^2 + 1 > 2x $.

Перенесем все члены в левую часть: $ x^2 - 2x + 1 > 0 $.

Левая часть является полным квадратом разности: $ (x-1)^2 > 0 $.

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, строго больше нуля. В нашем случае $ x = \log_3 7 $. Так как $ 3^1 = 3 \neq 7 $, то $ x \neq 1 $, следовательно $ x-1 \neq 0 $. Таким образом, неравенство $ (x-1)^2 > 0 $ является истинным.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также истинно.

Ответ: Неравенство $ \log_3 7 + \log_7 3 > 2 $ доказано.

г)

Докажем тождество $ 3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3} $. Данное равенство является частным случаем свойства $ a^{\log_c b} = b^{\log_c a} $. Докажем его, прологарифмировав обе части по основанию 2.

Логарифм левой части: $ \log_2(3^{\log_2 5}) $. По свойству логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $: $ \log_2 5 \cdot \log_2 3 $.

Логарифм правой части: $ \log_2(5^{\log_2 3}) $. По тому же свойству: $ \log_2 3 \cdot \log_2 5 $.

Логарифмы левой и правой частей равны, следовательно, равны и сами выражения.

Ответ: Тождество $ 3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3} $ доказано.