Номер 508, страница 242 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 508, страница 242.

Условие.

508.— Решите уравнение:

a) $\log_3 x = 2 \log_9 6 - \log_9 12;$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{0.2} 35 - 2 \log_{0.2} 25\sqrt{7};$

в) $\log_5 x = \frac{1}{2} \log_3 144 + \log_3 0.75;$

г) $\log_{\pi} x = 3 \log_{0.1} 4 + 2 \log_{0.1} 1\frac{1}{4}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $log_3 x = 2 log_9 6 - log_9 12$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов: $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$ и $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$2 log_9 6 - log_9 12 = log_9(6^2) - log_9 12 = log_9 36 - log_9 12 = log_9(\frac{36}{12}) = log_9 3$.
Теперь уравнение имеет вид:
$log_3 x = log_9 3$.
Вычислим значение $log_9 3$. Пусть $log_9 3 = y$, тогда по определению логарифма $9^y = 3$. Так как $9 = 3^2$, получаем $(3^2)^y = 3^1$, или $3^{2y} = 3^1$. Отсюда следует, что $2y = 1$, и $y = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$log_3 x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма:
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
Полученное значение $x = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x = \sqrt{3}$.

б) $log_{1/2} x = log_{0.2} 35 - 2 log_{0.2} 25\sqrt{7}$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем правую часть уравнения. Основание логарифма $0.2 = \frac{1}{5}$. Используем свойства логарифмов:
$log_{0.2} 35 - 2 log_{0.2} (25\sqrt{7}) = log_{0.2} 35 - log_{0.2} ((25\sqrt{7})^2)$.
Вычислим $(25\sqrt{7})^2 = 25^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 625 \cdot 7 = 4375$.
$log_{0.2} 35 - log_{0.2} 4375 = log_{0.2}(\frac{35}{4375})$.
Сократим дробь: $\frac{35}{4375} = \frac{35}{35 \cdot 125} = \frac{1}{125}$.
Таким образом, правая часть равна $log_{0.2}(\frac{1}{125}) = log_{1/5}(\frac{1}{125})$.
Так как $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$, то $log_{1/5}(\frac{1}{125}) = 3$.
Уравнение принимает вид:
$log_{1/2} x = 3$.
По определению логарифма:
$x = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{8}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

в) $log_5 x = \frac{1}{2} log_3 144 + log_3 0.75$
ОДЗ: $x > 0$.
Упростим правую часть уравнения. Представим десятичную дробь $0.75$ в виде обыкновенной: $0.75 = \frac{3}{4}$.
$\frac{1}{2} log_3 144 + log_3 \frac{3}{4} = log_3(144^{1/2}) + log_3(\frac{3}{4}) = log_3(\sqrt{144}) + log_3(\frac{3}{4}) = log_3 12 + log_3(\frac{3}{4})$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$:
$log_3(12 \cdot \frac{3}{4}) = log_3(3 \cdot 3) = log_3 9$.
Значение $log_3 9 = 2$, так как $3^2=9$.
Уравнение принимает вид:
$log_5 x = 2$.
По определению логарифма:
$x = 5^2 = 25$.
Полученное значение $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 25$.

г) $log_{\pi} x = 3 log_{0.1} 4 + 2 log_{0.1} 1\frac{1}{4}$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем правую часть. Переведем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Основание логарифма $0.1 = \frac{1}{10}$.
$3 log_{0.1} 4 + 2 log_{0.1} (\frac{5}{4}) = log_{0.1}(4^3) + log_{0.1}((\frac{5}{4})^2) = log_{0.1} 64 + log_{0.1}(\frac{25}{16})$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$log_{0.1}(64 \cdot \frac{25}{16}) = log_{0.1}(4 \cdot 25) = log_{0.1} 100$.
Вычислим значение $log_{0.1} 100$. Пусть $log_{0.1} 100 = y$. Тогда $(0.1)^y = 100$.
Представим обе части в виде степени 10: $(10^{-1})^y = 10^2$, что равносильно $10^{-y} = 10^2$.
Отсюда $-y=2$, и $y=-2$.
Уравнение принимает вид:
$log_{\pi} x = -2$.
По определению логарифма:
$x = \pi^{-2} = \frac{1}{\pi^2}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{\pi^2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{\pi^2}$.