Номер 514, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 514, страница 244.

Условие.

514. -

a) $\log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2;$

б) $\log_{\pi}(x^2 + 2x + 3) = \log_{\pi} 6;$

в) $\log_{0.3}(5 + 2x) = 1;$

г) $\log_2(3 - x) = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2 $.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2x - 4 > 0 $

$ 2x > 4 $

$ x > 2 $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество $ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $:

$ 2x - 4 = (\frac{1}{2})^{-2} $

Преобразуем правую часть:

$ (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2 = 4 $

Подставим полученное значение в уравнение:

$ 2x - 4 = 4 $

$ 2x = 8 $

$ x = 4 $

Полученный корень $ x=4 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ 4 > 2 $), следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $ 4 $

б)

Дано уравнение $ \log_{\pi}(x^2+2x+3) = \log_{\pi} 6 $.

Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$ x^2+2x+3 > 0 $

Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2+2x+3 $. Его дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $.

Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, парабола $ y = x^2+2x+3 $ целиком расположена выше оси абсцисс, то есть $ x^2+2x+3 > 0 $ для любого действительного $ x $. ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ x^2+2x+3 = 6 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2+2x-3 = 0 $

Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $ -2 $, а их произведение равно $ -3 $. Корнями являются:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -3 $

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $ -3; 1 $

в)

Дано уравнение $ \log_{0.3}(5+2x) = 1 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$ 5+2x > 0 $

$ 2x > -5 $

$ x > -2.5 $

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ 5+2x = 0.3^1 $

$ 5+2x = 0.3 $

$ 2x = 0.3 - 5 $

$ 2x = -4.7 $

$ x = \frac{-4.7}{2} $

$ x = -2.35 $

Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $ -2.35 > -2.5 $, корень является решением.

Ответ: $ -2.35 $

г)

Дано уравнение $ \log_{2}(3-x) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$ 3-x > 0 $

$ 3 > x $ или $ x < 3 $

Решим уравнение по определению логарифма:

$ 3-x = 2^0 $

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$ 3-x = 1 $

$ x = 3-1 $

$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $ 2 < 3 $, корень подходит.

Ответ: $ 2 $