Номер 514, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 514, страница 244.
№514 (с. 244)
Условие. №514 (с. 244)
скриншот условия

514. -
a) $\log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2;$
б) $\log_{\pi}(x^2 + 2x + 3) = \log_{\pi} 6;$
в) $\log_{0.3}(5 + 2x) = 1;$
г) $\log_2(3 - x) = 0.$
Решение 1. №514 (с. 244)

Решение 3. №514 (с. 244)

Решение 5. №514 (с. 244)
а)
Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(2x-4) = -2 $.
В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$ 2x - 4 > 0 $
$ 2x > 4 $
$ x > 2 $
Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество $ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $:
$ 2x - 4 = (\frac{1}{2})^{-2} $
Преобразуем правую часть:
$ (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2 = 4 $
Подставим полученное значение в уравнение:
$ 2x - 4 = 4 $
$ 2x = 8 $
$ x = 4 $
Полученный корень $ x=4 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ 4 > 2 $), следовательно, он является решением уравнения.
Ответ: $ 4 $
б)
Дано уравнение $ \log_{\pi}(x^2+2x+3) = \log_{\pi} 6 $.
Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:
$ x^2+2x+3 > 0 $
Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2+2x+3 $. Его дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $.
Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, парабола $ y = x^2+2x+3 $ целиком расположена выше оси абсцисс, то есть $ x^2+2x+3 > 0 $ для любого действительного $ x $. ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.
Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$ x^2+2x+3 = 6 $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2+2x-3 = 0 $
Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $ -2 $, а их произведение равно $ -3 $. Корнями являются:
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -3 $
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: $ -3; 1 $
в)
Дано уравнение $ \log_{0.3}(5+2x) = 1 $.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:
$ 5+2x > 0 $
$ 2x > -5 $
$ x > -2.5 $
Решим уравнение, используя определение логарифма:
$ 5+2x = 0.3^1 $
$ 5+2x = 0.3 $
$ 2x = 0.3 - 5 $
$ 2x = -4.7 $
$ x = \frac{-4.7}{2} $
$ x = -2.35 $
Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $ -2.35 > -2.5 $, корень является решением.
Ответ: $ -2.35 $
г)
Дано уравнение $ \log_{2}(3-x) = 0 $.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:
$ 3-x > 0 $
$ 3 > x $ или $ x < 3 $
Решим уравнение по определению логарифма:
$ 3-x = 2^0 $
Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:
$ 3-x = 1 $
$ x = 3-1 $
$ x = 2 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $ 2 < 3 $, корень подходит.
Ответ: $ 2 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 514 расположенного на странице 244 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №514 (с. 244), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.