Номер 517, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 517, страница 244.

Условие.

517.-

a) $\log_4 (x - 2) < 2;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} (3 - 2x) > -1;$

в) $\log_5 (3x + 1) > 2;$

г) $\log_{\frac{1}{7}} (4x + 1) < -2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_4(x - 2) < 2$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
2. Преобразуем правую часть неравенства. Представим число 2 в виде логарифма с основанием 4, используя свойство $b = \log_a(a^b)$:
$2 = \log_4(4^2) = \log_4(16)$.
3. Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$\log_4(x - 2) < \log_4(16)$.
4. Так как основание логарифма $a = 4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x - 2 < 16 \implies x < 18$.
5. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > 2$ и $x < 18$.
Это соответствует интервалу $(2, 18)$.
Ответ: $x \in (2, 18)$.

б) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$
1. Найдем ОДЗ:
$3 - 2x > 0 \implies -2x > -3 \implies x < \frac{3}{2}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - 2x < 3 \implies -2x < 0 \implies x > 0$.
5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x < \frac{3}{2}$ и $x > 0$.
Это соответствует интервалу $(0, \frac{3}{2})$.
Ответ: $x \in (0; 1,5)$.

в) $\log_5(3x + 1) > 2$
1. Найдем ОДЗ:
$3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:
$2 = \log_5(5^2) = \log_5(25)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_5(3x + 1) > \log_5(25)$.
4. Так как основание логарифма $a = 5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$3x + 1 > 25 \implies 3x > 24 \implies x > 8$.
5. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{3}$ и $x > 8$.
Более сильным условием является $x > 8$.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) < -2$
1. Найдем ОДЗ:
$4x + 1 > 0 \implies 4x > -1 \implies x > -\frac{1}{4}$.
2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-2}) = \log_{\frac{1}{7}}(7^2) = \log_{\frac{1}{7}}(49)$.
3. Подставим в исходное неравенство:
$\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) < \log_{\frac{1}{7}}(49)$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$4x + 1 > 49 \implies 4x > 48 \implies x > 12$.
5. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{4}$ и $x > 12$.
Более сильным условием является $x > 12$.
Ответ: $x \in (12, +\infty)$.