Номер 513, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 513, страница 244.

Условие.

513.—

а) $\log_5 x = 2;$

б) $\log_{0,4} x = -1;$

в) $\log_9 x = -\frac{1}{2};$

г) $\lg x = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы решить уравнение $\log_5 x = 2$, воспользуемся основным определением логарифма. Равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $b = a^c$ (где $a > 0, a \neq 1, b > 0$). Применяя это определение к данному уравнению, мы получаем, что $x$ равен основанию логарифма (5), возведенному в степень, которой равен логарифм (2). Таким образом, $x = 5^2$. Вычисляем значение: $x = 25$.
Ответ: 25

б) В уравнении $\log_{0.4} x = -1$ действуем аналогично. По определению логарифма, оно эквивалентно уравнению $x = 0.4^{-1}$. Отрицательная степень означает, что нужно найти число, обратное основанию. То есть, $x = \frac{1}{0.4}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно представить $0.4$ как обыкновенную дробь $\frac{4}{10}$, которая сокращается до $\frac{2}{5}$. Тогда $x = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: 2.5

в) Для решения уравнения $\log_9 x = -\frac{1}{2}$ снова используем определение логарифма. Получаем $x = 9^{-\frac{1}{2}}$. Отрицательная степень означает обратное число, а дробная степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень. Таким образом, мы можем записать выражение как $x = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$. Так как $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$, получаем $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Запись $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Следовательно, уравнение $\lg x = 2$ можно переписать в виде $\log_{10} x = 2$. Применяя определение логарифма, мы получаем $x = 10^2$. Выполняем возведение в степень: $x = 100$.
Ответ: 100