Номер 516, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 516, страница 244.

Условие.

Решите неравенства (516—517).

516.

a) $\log_3 x > 2;$

б) $\log_{0.5} x > -2;$

в) $\log_{0.7} x < 1;$

г) $\log_{2.5} x < 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $\log_3 x > 2$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.
3. Исходное неравенство можно переписать в виде: $\log_3 x > \log_3 9$.
4. Так как основание логарифма $a = 3$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 9$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x > 9 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $x > 9$.
Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.5} x > -2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0.5: $-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{0.5} 2^2 = \log_{0.5} 4$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 4$.
4. Так как основание логарифма $a = 0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 4$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < x < 4$.
Ответ: $x \in (0, 4)$.

в) Решим неравенство $\log_{0.7} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0.7: $1 = \log_{0.7} (0.7)^1 = \log_{0.7} 0.7$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{0.7} x < \log_{0.7} 0.7$.
4. Так как основание логарифма $a = 0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0.7$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x > 0.7 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $x > 0.7$.
Ответ: $x \in (0.7, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_{2.5} x < 2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2.5: $2 = \log_{2.5} (2.5)^2 = \log_{2.5} 6.25$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{2.5} x < \log_{2.5} 6.25$.
4. Так как основание логарифма $a = 2.5$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x < 6.25$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Система неравенств $\begin{cases} x < 6.25 \\ x > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < x < 6.25$.
Ответ: $x \in (0, 6.25)$.