Номер 523, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 523, страница 245.

Условие.

523.—

a) $ \log_a x = \log_{\sqrt{a}} 2 + \log_{\frac{1}{a}} 3; $

б) $ \log_x 2 - \log_4 x + \frac{7}{6} = 0; $

в) $ \log_3 x - 2 \log_{\frac{1}{3}} x = 6; $

г) $ \log_{25} x + \log_5 x = \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_a x = \log_{\sqrt{a}} 2 + \log_{\frac{1}{a}} 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$.

Приведем все логарифмы к основанию $a$, используя свойство логарифма $\log_{b^k} c = \frac{1}{k} \log_b c$.

$\log_{\sqrt{a}} 2 = \log_{a^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_a 2 = 2 \log_a 2$.

$\log_{\frac{1}{a}} 3 = \log_{a^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_a 3 = -\log_a 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_a x = 2 \log_a 2 - \log_a 3$.

Используем свойства логарифмов $k \log_b c = \log_b c^k$ и $\log_b m - \log_b n = \log_b(\frac{m}{n})$:

$\log_a x = \log_a (2^2) - \log_a 3$

$\log_a x = \log_a 4 - \log_a 3$

$\log_a x = \log_a \frac{4}{3}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$x = \frac{4}{3}$.

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

б) $\log_x 2 - \log_4 x + \frac{7}{6} = 0$

ОДЗ: основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, т.е. $x > 0$ и $x \neq 1$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ и свойство $\log_{b^k} c = \frac{1}{k} \log_b c$.

$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.

$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{\log_2 x} - \frac{1}{2} \log_2 x + \frac{7}{6} = 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 0$.

$\frac{1}{t} - \frac{t}{2} + \frac{7}{6} = 0$.

Умножим обе части уравнения на $6t$, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 - 3t^2 + 7t = 0$

$3t^2 - 7t - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$t_2 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$. Выполним обратную замену:

1) Если $\log_2 x = 3$, то $x = 2^3 = 8$.

2) Если $\log_2 x = -\frac{2}{3}$, то $x = 2^{-2/3} = \frac{1}{2^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

в) $\log_3 x - 2 \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм с основанием $\frac{1}{3}$ к основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x$.

Подставим в уравнение:

$\log_3 x - 2(-\log_3 x) = 6$.

$\log_3 x + 2\log_3 x = 6$.

$3\log_3 x = 6$.

$\log_3 x = 2$.

По определению логарифма: $x = 3^2 = 9$.

Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=9$.

г) $\log_{25} x + \log_5 x = \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8}$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 5.

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$.

$\log_{\frac{1}{5}} \sqrt{8} = \log_{5^{-1}} 8^{1/2} = \frac{1/2}{-1} \log_5 8 = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

Подставляем преобразованные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2} \log_5 x + \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

$\frac{3}{2} \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 8$.

Умножим обе части на 2:

$3 \log_5 x = -\log_5 8$.

Используем свойство $k \log_b c = \log_b c^k$:

$\log_5 x^3 = \log_5 8^{-1}$.

$\log_5 x^3 = \log_5 \frac{1}{8}$.

Приравниваем аргументы:

$x^3 = \frac{1}{8}$.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

Корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.