Номер 527, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 527, страница 245.

Условие.

527.-

a) $\log^2_2 x - \log_2 x \le 6;$

б) $\log^2_{\frac{1}{3}} x - 4 > 0;$

в) $\lg^2 x + 2 \lg x > 3;$

г) $\log^2_3 x - 9 \le 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_2^2 x - \log_2 x \le 6$
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\log_2^2 x - \log_2 x - 6 \le 0$
Данное неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$.
В новых переменных неравенство примет вид:
$t^2 - t - 6 \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $t_1 = -2$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - t - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $t^2 - t - 6 \le 0$ выполняется для значений $t$, лежащих между корнями (включая сами корни).
Таким образом, $-2 \le t \le 3$.
Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $\log_2 x$:
$-2 \le \log_2 x \le 3$
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Поэтому при потенцировании (переходе от логарифмов к числам) знаки неравенства сохраняются:
$2^{-2} \le x \le 2^3$
$1/4 \le x \le 8$
Найденное решение $x \in [1/4, 8]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[1/4; 8]$.

б) $\log_{1/3}^2 x - 4 > 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \log_{1/3} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(t-2)(t+2) > 0$.
Решением этого неравенства является совокупность $t < -2$ или $t > 2$.
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{1/3} x < -2$ или $\log_{1/3} x > 2$.
Так как основание логарифма $1/3$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Это означает, что при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
Для первого неравенства $\log_{1/3} x < -2$:
$x > (1/3)^{-2} \implies x > 3^2 \implies x > 9$.
Для второго неравенства $\log_{1/3} x > 2$:
$x < (1/3)^2 \implies x < 1/9$.
Объединяя полученные результаты с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение:
$0 < x < 1/9$ или $x > 9$.
Ответ: $(0; 1/9) \cup (9; \infty)$.

в) $\lg^2 x + 2 \lg x > 3$
Напомним, что $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\lg^2 x + 2 \lg x - 3 > 0$
Введем замену переменной: пусть $t = \lg x$.
$t^2 + 2t - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$. Корнями являются $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 2t - 3 > 0$ выполняется для значений $t$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $t < -3$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену:
$\lg x < -3$ или $\lg x > 1$.
Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знаки неравенств сохраняются:
Из $\lg x < -3$ следует $x < 10^{-3}$, то есть $x < 0.001$.
Из $\lg x > 1$ следует $x > 10^1$, то есть $x > 10$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение:
$0 < x < 0.001$ или $x > 10$.
Ответ: $(0; 0.001) \cup (10; \infty)$.

г) $\log_3^2 x - 9 \le 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 - 9 \le 0$
Разложим на множители: $(t-3)(t+3) \le 0$.
Решением этого неравенства является интервал $-3 \le t \le 3$.
Вернемся к исходной переменной:
$-3 \le \log_3 x \le 3$
Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенства сохраняются.
$3^{-3} \le x \le 3^3$
$1/27 \le x \le 27$
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[1/27; 27]$.